题目

lim_(ntoinfty)((1)/(sqrt(n^2)+1)+(1)/(sqrt(n^2)+2)+...+(1)/(sqrt(n^2)+n))=_.

$\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}})=\_.$

题目解答

答案

利用夹逼准则求解。对于每个 $k$（$1 \leq k \leq n$），有 \[ \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \] 因此， \[ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \leq \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} \] 计算极限： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = 1 \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} = 1 \] 由夹逼准则，原式极限为 $\boxed{1}$。

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用夹逼准则处理求和形式的极限问题。

解题核心思路：

  1. 观察通项结构：每一项的形式为$\frac{1}{\sqrt{n^2 +k}}$，当$n$很大时，分母中的$k$相对于$n^2$较小，整体趋近于$\frac{1}{n}$。
  2. 寻找上下界：通过比较分母的大小，找到每个通项的上下界，进而对整个和式进行放缩。
  3. 夹逼准则应用：分别计算上下界的极限，若两者相等，则原式极限为此值。

破题关键点：

  • 正确放缩：确定每个通项的最小值和最大值，从而得到和式的上下界。
  • 极限化简：将上下界的表达式化简为与$n$相关的简单形式，便于计算极限。

步骤1：确定通项的上下界

对于每个$k$（$1 \leq k \leq n$），分母$\sqrt{n^2 +k}$满足：
$\sqrt{n^2 +1} \geq \sqrt{n^2 +k} \geq \sqrt{n^2 +n}$
因此，通项$\frac{1}{\sqrt{n^2 +k}}$的上下界为：
$\frac{1}{\sqrt{n^2 +n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2 +k}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2 +1}}$

步骤2：对和式进行放缩

将上述不等式对$k$从$1$到$n$求和，得到：
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 +n}} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 +k}} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 +1}}$
即：
$\frac{n}{\sqrt{n^2 +n}} \leq S_n \leq \frac{n}{\sqrt{n^2 +1}}$

步骤3：计算上下界的极限

  1. 下界极限：
    $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 +n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = 1$
  2. 上界极限：
    $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 +1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} = 1$

步骤4：应用夹逼准则

由于上下界的极限均为$1$，根据夹逼准则，原式极限为：
$\lim_{n \to \infty} S_n = 1$