题目
underset(lim)(n→∞)（14n+2(}^{^3n)+32n+4n）{}^(1)/(n)= ____ ．
$\underset{lim}{n→∞}$（14n+2${}^{{}^{3n}}$+32n+4n）${}^{\frac{1}{n}}$= ____ ．
题目解答
答案
解：原式=$\underset{lim}{n→∞}$（1n+8n+9n+4n）${}^{\frac{1}{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$e${}^{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）^{\frac{1}{n}}}$=$\underset{lim}{n→∞}$e${}^{\frac{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）}{n}}$，
由洛必达法则可得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）}{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{1}^{n}•ln1+{8}^{n}•ln8+{9}^{n}•ln9+{4}^{n}•ln4}{{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（\frac{1}{9}）^{n}•ln1+（\frac{8}{9}）^{n}•ln8+ln9+（\frac{4}{9}）^{n}•ln4}{（\frac{1}{9}）^{n}+（\frac{8}{9}）^{n}+1+（\frac{4}{9}）^{n}}$=$\frac{0+0+ln9+0}{0+0+1+0}$=ln9，
则$\underset{lim}{n→∞}$e${}^{\frac{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）}{n}}$=eln9=9．
故答案为：9．
由洛必达法则可得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）}{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{1}^{n}•ln1+{8}^{n}•ln8+{9}^{n}•ln9+{4}^{n}•ln4}{{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（\frac{1}{9}）^{n}•ln1+（\frac{8}{9}）^{n}•ln8+ln9+（\frac{4}{9}）^{n}•ln4}{（\frac{1}{9}）^{n}+（\frac{8}{9}）^{n}+1+（\frac{4}{9}）^{n}}$=$\frac{0+0+ln9+0}{0+0+1+0}$=ln9，
则$\underset{lim}{n→∞}$e${}^{\frac{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）}{n}}$=eln9=9．
故答案为：9．
解析
步骤 1：简化表达式
原式可以简化为 $\underset{lim}{n→∞}$（1^{n}+8^{n}+9^{n}+4^{n}）${}^{\frac{1}{n}}$，因为 $1^{4n}=1^{n}$，$2^{3n}=8^{n}$，$3^{2n}=9^{n}$，$4^{n}$ 保持不变。
步骤 2：应用对数
将原式转换为指数形式，即 $\underset{lim}{n→∞}$e${}^{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）^{\frac{1}{n}}}$，再进一步转换为 $\underset{lim}{n→∞}$e${}^{\frac{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）}{n}}$。
步骤 3：应用洛必达法则
对 $\underset{lim}{n→∞}$$\frac{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）}{n}$ 应用洛必达法则，得到 $\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{1}^{n}•ln1+{8}^{n}•ln8+{9}^{n}•ln9+{4}^{n}•ln4}{{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}}$。
步骤 4：计算极限
计算极限 $\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（\frac{1}{9}）^{n}•ln1+（\frac{8}{9}）^{n}•ln8+ln9+（\frac{4}{9}）^{n}•ln4}{（\frac{1}{9}）^{n}+（\frac{8}{9}）^{n}+1+（\frac{4}{9}）^{n}}$，得到 $\frac{0+0+ln9+0}{0+0+1+0}$=ln9。
步骤 5：求解原式
将步骤 4 的结果代入原式，得到 $\underset{lim}{n→∞}$e${}^{\frac{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）}{n}}$=e^{ln9}=9。
原式可以简化为 $\underset{lim}{n→∞}$（1^{n}+8^{n}+9^{n}+4^{n}）${}^{\frac{1}{n}}$，因为 $1^{4n}=1^{n}$，$2^{3n}=8^{n}$，$3^{2n}=9^{n}$，$4^{n}$ 保持不变。
步骤 2：应用对数
将原式转换为指数形式，即 $\underset{lim}{n→∞}$e${}^{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）^{\frac{1}{n}}}$，再进一步转换为 $\underset{lim}{n→∞}$e${}^{\frac{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）}{n}}$。
步骤 3：应用洛必达法则
对 $\underset{lim}{n→∞}$$\frac{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）}{n}$ 应用洛必达法则，得到 $\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{1}^{n}•ln1+{8}^{n}•ln8+{9}^{n}•ln9+{4}^{n}•ln4}{{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}}$。
步骤 4：计算极限
计算极限 $\underset{lim}{n→∞}$$\frac{（\frac{1}{9}）^{n}•ln1+（\frac{8}{9}）^{n}•ln8+ln9+（\frac{4}{9}）^{n}•ln4}{（\frac{1}{9}）^{n}+（\frac{8}{9}）^{n}+1+（\frac{4}{9}）^{n}}$，得到 $\frac{0+0+ln9+0}{0+0+1+0}$=ln9。
步骤 5：求解原式
将步骤 4 的结果代入原式，得到 $\underset{lim}{n→∞}$e${}^{\frac{ln（{1}^{n}+{8}^{n}+{9}^{n}+{4}^{n}）}{n}}$=e^{ln9}=9。