2025,1)设n阶矩阵A,B,C满足r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n. 则下面4个结论中一定正确的是 ①r(ABC)+n=r(AB)+r(C). ②r(AB)+n=r(A)+r(B). ③r(A)=r(B)=r(C)=n. ④r(AB)=r(BC)=n. A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④

考查要点：本题主要考查矩阵秩的性质及其运算规律，特别是矩阵乘积的秩与各因子秩之间的关系。需要结合题目给出的条件，灵活运用秩的不等式和等式进行推导。

解题核心思路：

1. 利用秩的性质：矩阵乘积的秩不超过任一因子的秩，即 $r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$，但需注意这是不等式，而非等式。
2. 构造等式关系：题目给出的条件 $r(A) + r(B) + r(C) = r(ABC) + 2n$，需通过变形与选项中的等式建立联系。
3. 反例验证：对选项③、④通过构造特殊矩阵（如零矩阵）进行反例验证，判断其是否一定成立。

破题关键点：

• 选项①和②的等式结构与题目条件存在隐含的代数关系，需通过代数变形推导其必然性。
• 选项③和④的绝对性（如“秩必须为$n$”）可通过构造反例直接排除。

选项①：$r(ABC) + n = r(AB) + r(C)$

推导过程：

1. 将题目条件 $r(A) + r(B) + r(C) = r(ABC) + 2n$ 变形为：
   $r(ABC) = r(A) + r(B) + r(C) - 2n.$
2. 将选项①的等式 $r(ABC) = r(AB) + r(C) - n$ 代入上式，得：
   $r(AB) + r(C) - n = r(A) + r(B) + r(C) - 2n.$
3. 化简后得到：
   $r(AB) = r(A) + r(B) - n.$
   这表明选项①与选项②的等式直接相关，需进一步验证其普遍性。

选项②：$r(AB) + n = r(A) + r(B)$

推导过程：

1. 根据矩阵秩的性质，有不等式：
   $r(AB) \geq r(A) + r(B) - n.$
   题目条件隐含等式成立，即：
   $r(AB) = r(A) + r(B) - n.$
2. 代入题目条件可得：
   $r(A) + r(B) + r(C) = [r(A) + r(B) - n] + 2n \implies r(C) = n.$
   但题目未限定$r(C)=n$，因此需结合其他条件分析。

选项③：$r(A) = r(B) = r(C) = n$

反例验证：

• 若$C$为零矩阵，则$r(C)=0$，此时题目条件变为：
  $r(A) + r(B) = r(ABC) + 2n.$
  若$A$和$B$均为满秩矩阵（$r(A)=r(B)=n$），则$ABC=0$，$r(ABC)=0$，等式成立。但此时$r(C)=0 \neq n$，故选项③不成立。

选项④：$r(AB) = r(BC) = n$

反例验证：

• 若$C$为零矩阵，则$BC=0$，$r(BC)=0 \neq n$，故选项④不成立。