题目

(3) (2009-3) lim_(x arrow 0) (e-e^cos x)/(sqrt[3](1+x^2)-1)

(3) (2009-3) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}-1}$

题目解答

答案

当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，故 $e^{\cos x} \to e$。分子 $e - e^{\cos x}$ 可近似为： \[ e - e^{\cos x} \approx e - e\left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{ex^2}{2} \] 分母 $\sqrt[3]{1 + x^2} - 1$ 可近似为： \[ \sqrt[3]{1 + x^2} - 1 \approx \frac{x^2}{3} \] 因此，原极限为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{ex^2}{2}}{\frac{x^2}{3}} = \frac{3e}{2} \] 或者，使用洛必达法则： \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{\cos x} \sin x}{\frac{2x}{3(1 + x^2)^{2/3}}} = \frac{3e}{2} \] **答案：** $\boxed{\frac{3e}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理0/0型不定式的能力，需要灵活运用泰勒展开或洛必达法则。

解题核心思路：

  1. 识别不定式类型：当$x \to 0$时，分子$e - e^{\cos x}$和分母$\sqrt[3]{1+x^2} - 1$均趋近于0，属于0/0型不定式。
  2. 选择方法：可通过泰勒展开将分子和分母展开到同阶无穷小，或使用洛必达法则两次求解。

破题关键点：

  • 泰勒展开：将$\cos x$展开到$x^2$项，$\sqrt[3]{1+x^2}$展开到$x^2$项，简化表达式。
  • 洛必达法则：两次对分子分母求导，注意第二次求导后的化简。

方法一：泰勒展开法

  1. 展开分子：
    当$x \to 0$时，$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$，代入$e^{\cos x}$得：
    $e^{\cos x} \approx e \cdot \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)$
    因此，分子可近似为：
    $e - e^{\cos x} \approx e - e\left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{e x^2}{2}$

  2. 展开分母：
    利用三次根号展开式$\sqrt[3]{1+x^2} \approx 1 + \frac{x^2}{3}$，分母可近似为：
    $\sqrt[3]{1+x^2} - 1 \approx \frac{x^2}{3}$

  3. 计算极限：
    分子和分母的$x^2$项相消，得：
    $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e x^2}{2}}{\frac{x^2}{3}} = \frac{e}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3e}{2}$

方法二：洛必达法则

  1. 第一次求导：
    分子导数：$\frac{d}{dx} \left(e - e^{\cos x}\right) = -e^{\cos x} \sin x$
    分母导数：$\frac{d}{dx} \left(\sqrt[3]{1+x^2} - 1\right) = \frac{2x}{3(1+x^2)^{2/3}}$
    代入$x=0$仍为0/0型，需继续求导。

  2. 第二次求导：
    分子导数：$\frac{d}{dx} \left(-e^{\cos x} \sin x\right) = e^{\cos x} \sin^2 x + e^{\cos x} \cos x \cos x$
    分母导数：$\frac{d}{dx} \left(\frac{2x}{3(1+x^2)^{2/3}}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{(1+x^2)^{2/3} - \frac{4x^2}{3}}{(1+x^2)^{4/3}}}$
    代入$x=0$得分子为$e$，分母为$\frac{2}{3}$，故极限为：
    $\frac{e}{\frac{2}{3}} = \frac{3e}{2}$