题目
计算 lim _(xarrow 0)dfrac (1)({x)^2}ln dfrac (sin x)(x) .
题目解答
答案
解析
本题考查利用洛必达法则求极限的知识点。解题思路是先判断极限的类型，若为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，则可使用洛必达法则对分子分母分别求导来计算极限。
- 首先判断极限类型：
当$x\rightarrow 0$时，$\sin x\sim x$，则$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，那么$\lim _{x\rightarrow 0}\ln\frac{\sin x}{x}=\ln1 = 0$，同时$\lim _{x\rightarrow 0}x^{2}=0$，所以$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}\ln\frac{\sin x}{x}$是$\frac{0}{0}$型极限。 - 然后使用洛必达法则：
根据洛必达法则，若$\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$是$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，则$\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$。
对$\frac{1}{x^{2}}\ln\frac{\sin x}{x}$的分子分母分别求导，先将$\frac{1}{x^{2}}\ln\frac{\sin x}{x}$变形为$\frac{\ln\sin x - \ln x}{x^{2}}$。- 求分子$\ln\sin x - \ln x$的导数：
根据求导公式$(\ln u)^\prime=\frac{u^\prime}{u}$，$(\sin x)^\prime = \cos x$，$(x)^\prime = 1$，可得$(\ln\sin x - \ln x)^\prime=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{1}{x}=\frac{x\cos x - \sin x}{x\sin x}$。 - 求分母$x^{2}$的导数：
根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得$(x^{2})^\prime = 2x$。
则$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln\sin x - \ln x}{x^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x\cos x - \sin x}{x\sin x}}{2x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x\cos x - \sin x}{2x^{2}\sin x}$。
当$x\rightarrow 0$时，$\sin x\sim x$，则$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x\cos x - \sin x}{2x^{2}\sin x}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x\cos x - \sin x}{2x^{3}}$，此时该极限仍为$\frac{0}{0}$型。
- 求分子$\ln\sin x - \ln x$的导数：
- 再次使用洛必达法则：
- 求分子$x\cos x - \sin x$的导数：
根据求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，$(\cos x)^\prime = -\sin x$，$(\sin x)^\prime = \cos x$，可得$(x\cos x - \sin x)^\prime=\cos x - x\sin x - \cos x=-x\sin x$。 - 求分母$2x^{3}$的导数：
根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得$(2x^{3})^\prime = 6x^{2}$。
则$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{x\cos x - \sin x}{2x^{3}}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{-x\sin x}{6x^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\frac{-\sin x}{6x}$。
当$x\rightarrow 0$时，$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，所以$\lim _{x\rightarrow 0}\frac{-\sin x}{6x}=-\frac{1}{6}$。
- 求分子$x\cos x - \sin x$的导数：