1.21 求矢量 =(e)_(x)x+(e)_(y)(x)^2+(e)_(2)(y)^2z 沿xy平面上的一个边长为2的正方形-|||-回路的线积分,此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求 times A 对此回-|||-路所包围的曲面积分,验证斯托克斯定理。

题目考察知识

本题主要考察斯托克斯定理的应用，需完成两个核心计算：矢量$A$沿正方形回路的线积分和和旋度$\nabla \times A$通过回路包围曲面的面积分，并验证两者相等。

一、线积分计算

1. 回路描述

正方形边长为2，位于$xy$平面)，两边与$x$轴、$y$轴重合，四个顶点坐标为$(0,0,0)$、$(2,0,)$、$(2,2,)$、$(0,2,)$，回路方向为顺时针方向（根据答案积分路径）。

2. 分段积分

将回路分为四段，每段参数化并计算$A\cdot dl$：

• 段1：从$(0,0)$到$(2,0)$：$y=0$，$dl=e_xdx$，$A=e_xx$，积分：$\int_0^2 xdx$。
• 段2：从$(2,0)$到$(2,2)$：$x=2$，$dl=e_ydy$，$A=e_y2^2$，积分：$\int_^2 4dy$。
• 段3：从$(2,2)$到$(0,2)$：\y=2)，$dl=-e_xdx$，$A=e_xx$，积分：$-\int_^2 xdx$。
• 段4：从$(0,2)$到$(0,0)$：\x=0)，$dl=-e_ydy$，$A=e_y0^2$，积分：$\int_^2 0dy=0$。

3. 总积分

$\int_C A\cdot dl=\int_^2 xdx + \int_^2 4dy - \int_^2 xdx + 0 = 0 + 4\times2=8$。

二、旋度及面积分计算

1. 旋度$\nabla \times A$计算

矢量$A=e_xx + e_yx^2 + e_z y^2z$，旋度公式：
$\nabla \times A=\begin{vmatrix}e_x & e_y & e_z \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\x & x^2 & y^2z\end{vmatrix}=e_x\left(\frac{\partial(y^2z)}{\partial y}-\frac{\partial(x^2)}{\partial z}\right)-e_y\left(\frac{\partial(y^2z)}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial z}\right)+e_z\left(\frac{\partial x^2}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y})$
化简得：$\nabla \times A=e_x(2yz) + e_y(0) + e_z(2x)$。

2. 面积分$\int_S (\nabla \times A)\cdot dS$

曲面$S$为$xy$平面正方形，$dS$的法向量$dS=e_z dxdy$，故：
$\int_S (\nabla \times A)\cdot dS=\int_S (e_z 2x)\cdot e_z dxdy=\int_^2\int_^2 2x dxdy$
积分：$\int_^2 dx \int_^2 2x dy= \int_^2 2x\cdot2x dx=4\int_^2 xdx=4\left[\frac{x^2}{2}\right]_^2=4\times2=8$。

三、斯托克斯定理验证

线积分$\int_C A\cdot dl=8$，面积分$\int_S \nabla \times A\cdot dS=8$，两者相等，验证成立。