(4) lim _(xarrow 0)dfrac (sin x-tan x)((sqrt [3]{1+{x)^2}-1)(sqrt (1+sin x)-1)}

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及等价无穷小替换和泰勒展开的应用，需要灵活处理分子和分母的展开式。

解题核心思路：

1. 分子 $\sin x - \tan x$ 可变形为 $\sin x \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x}$，利用 $\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$ 和 $\sin x \sim x$ 进行替换。
2. 分母 分解为两部分：$\sqrt[3]{1+x^2} - 1$ 和 $\sqrt{1+\sin x} - 1$，分别用泰勒展开近似为 $\frac{1}{3}x^2$ 和 $\frac{1}{2}x$。
3. 将分子和分母的主部代入，化简求极限。

破题关键点：

• 分子化简：将 $\tan x$ 表示为 $\frac{\sin x}{\cos x}$，通分后提取公共因子。
• 分母展开：对根式部分使用泰勒展开，保留主部项。
• 等价替换：利用 $\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$ 和 $\sin x \sim x$ 简化计算。

分子部分

1. 变形：
   $\sin x - \tan x = \sin x - \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \left(1 - \frac{1}{\cos x}\right) = \sin x \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x}.$

2. 等价无穷小替换：
   当 $x \to 0$ 时，$\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$，$\sin x \sim x$，$\cos x \sim 1$，因此：
   $\sin x \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x} \sim x \cdot \frac{-\frac{x^2}{2}}{1} = -\frac{x^3}{2}.$

分母部分

1. 三次根式展开：
   $\sqrt[3]{1+x^2} - 1 = (1+x^2)^{1/3} - 1 \sim \frac{1}{3}x^2.$

2. 平方根式展开：
   $\sqrt{1+\sin x} - 1 = (1+\sin x)^{1/2} - 1 \sim \frac{1}{2}\sin x \sim \frac{1}{2}x.$

3. 分母主部：
   $\left(\frac{1}{3}x^2\right) \cdot \left(\frac{1}{2}x\right) = \frac{1}{6}x^3.$

整体极限

将分子和分母的主部代入：
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{2}}{\frac{1}{6}x^3} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{6}} = -3.$