y=x^3-5x^2+3x+5的拐点

拐点是函数图像凹凸性发生改变的点，其存在的条件是二阶导数为零且符号在该点两侧发生变化。解题的核心步骤为：

1. 求一阶导数和二阶导数；
2. 解方程$y''=0$得到可能的拐点横坐标；
3. 验证该点两侧二阶导数的符号是否改变；
4. 代入原函数计算对应的纵坐标，确定拐点坐标。

求导过程

1. 一阶导数：
   $y' = \frac{d}{dx}(x^3 -5x^2 +3x +5) = 3x^2 -10x +3$
2. 二阶导数：
   $y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 -10x +3) = 6x -10$

求解二阶导数为零的点

解方程$y''=0$：
$6x -10 = 0 \implies x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

验证凹凸性变化

• 左侧取值：当$x < \frac{5}{3}$时（如$x=1$），$y'' = 6(1) -10 = -4 < 0$，图像为凹；
• 右侧取值：当$x > \frac{5}{3}$时（如$x=2$），$y'' = 6(2) -10 = 2 > 0$，图像为凸；
• 符号变化：二阶导数由负变正，说明在$x=\frac{5}{3}$处凹凸性改变，存在拐点。

计算拐点坐标

将$x=\frac{5}{3}$代入原函数：
$\begin{aligned}y &= \left(\frac{5}{3}\right)^3 -5\left(\frac{5}{3}\right)^2 +3\left(\frac{5}{3}\right) +5 \\&= \frac{125}{27} - \frac{125}{9} + 5 +5 \\&= \frac{125}{27} - \frac{375}{27} + \frac{135}{27} + \frac{135}{27} \\&= \frac{20}{27}\end{aligned}$