98 记曲线 y=a(1-cost)-|||-=a(t-sin t),(agt 0,0leqslant tleqslant 2pi ) 与x轴所围区域为D.D绕x轴旋转-|||-一周所得旋转体体积为V1,绕直线 y=2a 旋转一周所得旋转体体积为V2,则-|||-(A) _(1)lt (V)_(2) (B) _(1)=(v)_(2)-|||-(C) _(1)gt (V)_(2) (D)V1,V2的大小关系与a有关.

本题主要考察利用定积分计算旋转体体积，关键是掌握绕x轴和绕平行于x轴的直线旋转的体积公式，并通过作差法比较体积大小。

步骤1：明确曲线与区域D

题目中的曲线是摆线的一拱：$\begin{cases}x=a(t-\sin t)\\y=a(1-\cos t)\end{cases}$（$a>0,0\leq t\leq2\pi$）。当$t\in[0,2\pi]$时，$x\in[0,2\pi a]$，$y\in[0,2a]$（因$\cos t\in[-1,1]$，故$1-\cos t\in[0,2]$）。区域D是该摆线与x轴（$y=0$）围成的部分。

步骤2：计算$V_1$（绕x轴旋转的体积）

根据旋转体体积公式，绕x轴旋转的体积为：
$V_1=\pi\int_{x=0}^{2\pi a}y^2dx$
由于曲线由参数方程给出，用参数t替换积分变量：$dx=a(1-\cos t)dt$（对$x=a(t-\sin t)$求导），当$t=0$时$x=0$，$t=2\pi$时$x=2\pi a$，故：
$V_1=\pi\int_{0}^{2\pi}[a(1-\cos t)]^2\cdot a(1-\cos t)dt=\pi a^3\int_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^3dt$

步骤3：计算$V_2$（绕$y=2a$旋转的体积）

绕直线$y=2a$旋转时，横截面是圆环：外径为$2a$（到$y=2a$的最大距离），内径为$2a-y$（到$y=2a$的最小距离）。圆环面积为$\pi[(2a)^2-(2a-y)^2]$，故体积：
$V_2=\pi\int_{0}^{2\pi a}[(2a)^2-(2a-y)^2]dx$
展开被积函数：
$(2a)^2-(2a-y)^2=4a^2-(4a^2-4ay+y^2)=4ay-y^2$
因此：
$V_2=\pi\int_{0}^{2\pi a}(4ay-y^2)dx$
同样用参数t替换：
$V_2=\pi\int_{0}^{2\pi}[4a\cdot a(1-\cos t)-a^2(1-\cos t)^2]\cdot a(1-\cos t)dt=\pi a^3\int_{0}^{2\pi}[4(1-\cos t)-(1-\cos t)^2](1-\cos t)dt$
化简被积函数：
$4(1-\cos t)^2-(1-\cos t)^3=(1-\cos t)^2[4-(1-\cos t)]=(1-\cos t)^2(3+\cos t)$

步骤4：比较$V_1$与$V_2$

计算$V_2-V_1$：
$V_2-V_1=\pi a^3\int_{0}^{2\pi}\left[(1-\cos t)^2(3+\cos t)-(1-\cos t)^3\right]dt$
化简积分内表达式：
$(1-\cos t)^3(3+\cos t)-(1-\cos t)^3=(1-\cos t)^3\left[(3+\cos t)-1\right]=(1-\cos t)^3(2+\cos t)$
由于$t\in[0,2\pi]$时，$1-\cos t\geq0$，$2+\cos t>0$，故被积函数非负且不恒为0，因此：
$V_2-V_1>0\implies V_1