求：lim _(xarrow 0)dfrac (4{x)^3-2(x)^2+x}(3{x)^2+2x}-|||-__

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是洛必达法则的应用，以及代数式的因式分解技巧。

解题核心思路：
当直接代入$x=0$导致$\frac{0}{0}$型不定式时，可以考虑使用洛必达法则，即对分子和分母分别求导后再求极限。此外，也可以通过因式分解约简分式，直接代入求解。

破题关键点：

1. 识别不定式类型：分子和分母在$x \to 0$时均趋近于$0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式。
2. 选择合适方法：既可以通过洛必达法则求导后计算，也可以通过提取公因式约分简化分式。

方法一：洛必达法则

1. 验证条件：

   • 分子$f(x)=4x^3-2x^2+x$，$\lim_{x \to 0} f(x)=0$；
   • 分母$g(x)=3x^2+2x$，$\lim_{x \to 0} g(x)=0$；
   • 在$x=0$的去心邻域内，$f(x)$和$g(x)$均可导，且$g'(x)=6x+2 \neq 0$（当$x$接近$0$时，$g'(x) \approx 2 \neq 0$）。

2. 应用洛必达法则：
   $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{12x^2 -4x +1}{6x +2}$

3. 代入计算：
   当$x=0$时，分子为$1$，分母为$2$，故极限值为$\frac{1}{2}$。

方法二：因式分解

1. 提取公因式：

   • 分子：$4x^3-2x^2+x = x(4x^2-2x+1)$；
   • 分母：$3x^2+2x = x(3x+2)$。

2. 约分简化：
   $\frac{x(4x^2-2x+1)}{x(3x+2)} = \frac{4x^2-2x+1}{3x+2} \quad (x \neq 0)$

3. 直接代入：
   当$x=0$时，分子为$1$，分母为$2$，故极限值为$\frac{1}{2}$。