试求出三次对称群-|||-._(3)=1(1) ,(12),(13),(23),(123),(132)}-|||-的所有子群.

步骤 1：确定S3的阶数
三次对称群 ${S}_{3}$ 包含所有可能的三个元素的排列，因此它有 $3! = 6$ 个元素，即 ${S}_{3} = \{(1), (12), (13), (23), (123), (132)\}$。

步骤 2：列出所有可能的子群
根据Lagrange定理，子群的阶数必须是群阶数的因数。因此，${S}_{3}$ 的子群的阶数只能是1, 2, 3, 或6。我们首先列出所有可能的子群，然后验证它们是否满足子群的条件（封闭性、单位元存在、逆元存在）。

步骤 3：验证子群
- ${H}_{1} = \{(1)\}$：这是平凡子群，显然满足子群的条件。
- ${H}_{2} = \{(1), (12)\}$：这是一个阶数为2的子群，封闭性、单位元存在、逆元存在都满足。
- ${H}_{3} = \{(1), (13)\}$：这是一个阶数为2的子群，封闭性、单位元存在、逆元存在都满足。
- ${H}_{4} = \{(1), (23)\}$：这是一个阶数为2的子群，封闭性、单位元存在、逆元存在都满足。
- ${H}_{5} = \{(1), (123), (132)\}$：这是一个阶数为3的子群，封闭性、单位元存在、逆元存在都满足。
- ${H}_{6} = {S}_{3}$：这是整个群，显然满足子群的条件。

步骤 4：证明没有其他子群
由于 ${S}_{3}$ 的阶数为6，根据Lagrange定理，子群的阶数只能是1, 2, 3, 或6。我们已经找到了所有可能的子群，因此没有其他子群。