题目
求下列不定积分:-|||-15. int dfrac (dx)(3+cos x)
题目解答
答案
解析
步骤 1：使用万能代换
令 $u=\tan \dfrac {x}{2}$，则 $\cos x = \dfrac {1-u^2}{1+u^2}$，$dx = \dfrac {2du}{1+u^2}$。
步骤 2：代入并化简
代入后，原积分变为 $\int \dfrac {1}{3+\dfrac {1-u^2}{1+u^2}} \cdot \dfrac {2du}{1+u^2}$。
化简得 $\int \dfrac {2du}{3(1+u^2)+(1-u^2)}$。
进一步化简得 $\int \dfrac {2du}{4+2u^2}$。
步骤 3：积分
$\int \dfrac {2du}{4+2u^2} = \int \dfrac {du}{2+u^2}$。
令 $v = \dfrac {u}{\sqrt {2}}$，则 $dv = \dfrac {du}{\sqrt {2}}$。
代入后，积分变为 $\dfrac {1}{\sqrt {2}}\int \dfrac {dv}{1+v^2}$。
步骤 4：求解
$\dfrac {1}{\sqrt {2}}\int \dfrac {dv}{1+v^2} = \dfrac {1}{\sqrt {2}}\arctan v + C$。
代回 $v = \dfrac {u}{\sqrt {2}}$，得 $\dfrac {1}{\sqrt {2}}\arctan \dfrac {u}{\sqrt {2}} + C$。
代回 $u = \tan \dfrac {x}{2}$，得 $\dfrac {1}{\sqrt {2}}\arctan \dfrac {\tan \dfrac {x}{2}}{\sqrt {2}} + C$。
令 $u=\tan \dfrac {x}{2}$，则 $\cos x = \dfrac {1-u^2}{1+u^2}$，$dx = \dfrac {2du}{1+u^2}$。
步骤 2：代入并化简
代入后，原积分变为 $\int \dfrac {1}{3+\dfrac {1-u^2}{1+u^2}} \cdot \dfrac {2du}{1+u^2}$。
化简得 $\int \dfrac {2du}{3(1+u^2)+(1-u^2)}$。
进一步化简得 $\int \dfrac {2du}{4+2u^2}$。
步骤 3：积分
$\int \dfrac {2du}{4+2u^2} = \int \dfrac {du}{2+u^2}$。
令 $v = \dfrac {u}{\sqrt {2}}$，则 $dv = \dfrac {du}{\sqrt {2}}$。
代入后，积分变为 $\dfrac {1}{\sqrt {2}}\int \dfrac {dv}{1+v^2}$。
步骤 4：求解
$\dfrac {1}{\sqrt {2}}\int \dfrac {dv}{1+v^2} = \dfrac {1}{\sqrt {2}}\arctan v + C$。
代回 $v = \dfrac {u}{\sqrt {2}}$，得 $\dfrac {1}{\sqrt {2}}\arctan \dfrac {u}{\sqrt {2}} + C$。
代回 $u = \tan \dfrac {x}{2}$，得 $\dfrac {1}{\sqrt {2}}\arctan \dfrac {\tan \dfrac {x}{2}}{\sqrt {2}} + C$。