没数列(xn)有界,又 lim _(narrow infty )(y)_(n)=0.没数列(xn)有界,又 lim _(narrow infty )(y)_(n)=0..

考查要点：本题主要考查数列极限的乘积性质，特别是当一个数列有界且另一个数列极限为零时，它们的乘积的极限性质。

解题核心思路：
利用有界数列的性质和极限定义的结合。关键点在于通过有界数列的存在性，将乘积的绝对值转化为可控制的形式，再结合第二个数列极限为零的条件，找到合适的项数N，使得乘积的绝对值小于任意给定的正数ε。

破题关键点：

1. 有界性：明确有界数列的存在性，即存在某个正数M，使得所有项的绝对值不超过M。
2. 极限定义的应用：通过第二个数列极限为零的条件，找到对应的N，使得当n足够大时，第二个数列的绝对值被ε/M控制，从而保证乘积整体被ε控制。

证明步骤：

1. 利用有界性确定M
   因为数列$\{x_n\}$有界，根据定义，存在正数$M$，使得对一切自然数$n$，有
   $|x_n| \leq M.$

2. 应用极限定义控制$y_n$
   已知$\lim\limits_{n \to \infty} y_n = 0$，根据极限定义，对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在自然数$N$，当$n > N$时，有
   $|y_n| < \frac{\varepsilon}{M}.$

3. 结合两条件控制乘积
   当$n > N$时，乘积的绝对值可估计为：
   $|x_n y_n| = |x_n| \cdot |y_n| \leq M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon.$

4. 结论
   根据极限定义，对任意$\varepsilon > 0$，存在$N$使得当$n > N$时，$|x_n y_n| < \varepsilon$，因此
   $\lim\limits_{n \to \infty} x_n y_n = 0.$