以 y=x 2-e x和 y=x 2-e x为特解的一阶非齐次线性微分方程为_____.

考查要点：本题主要考查根据给定特解构造一阶非齐次线性微分方程的能力，需要理解微分方程解的结构及待定系数法的应用。

解题核心思路：

1. 确定微分方程形式：一阶非齐次线性微分方程的标准形式为 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 为待定函数。
2. 代入特解求参数：将两个特解分别代入方程，建立关于 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 的方程组，通过联立求解确定 $P(x)$ 和 $Q(x)$。
3. 验证解的合理性：确保所求方程同时满足两个特解。

破题关键点：

• 利用特解差求齐次方程：两个特解的差应为对应齐次方程的解，从而快速确定 $P(x)$。
• 联立方程消元：通过代入两个特解，消去 $Q(x)$，直接解出 $P(x)$。

设所求微分方程为 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 为待定函数。

代入特解 $y = x^2$

1. 计算导数：$y' = 2x$。
2. 代入方程：$2x + P(x) \cdot x^2 = Q(x)$。

代入特解 $y = x^2 - e^x$

1. 计算导数：$y' = 2x - e^x$。
2. 代入方程：$(2x - e^x) + P(x) \cdot (x^2 - e^x) = Q(x)$。

联立方程求解

将两个方程联立：
$\begin{cases}2x + P(x) \cdot x^2 = Q(x) \\2x - e^x + P(x) \cdot (x^2 - e^x) = Q(x)\end{cases}$

消去 $Q(x)$：
将第一个方程中的 $Q(x)$ 代入第二个方程：
$2x - e^x + P(x)(x^2 - e^x) = 2x + P(x)x^2$

化简方程：
左右两边相减得：
$-e^x + P(x)(-e^x) = 0 \implies P(x) = -1$

求 $Q(x)$：
将 $P(x) = -1$ 代入第一个方程：
$Q(x) = 2x + (-1) \cdot x^2 = 2x - x^2$

结论：微分方程为 $y' - y = 2x - x^2$。