(7)(2006年,4分)设函数 y=f(x) 具有二阶导数,且 '(x)gt 0 ''(x)gt 0 Delta x 为自变量x-|||-在点x0处的增量, Delta y 与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若 Delta xgt 0, 则 ()-|||-(A) lt dylt Delta y (B) lt Delta ylt dy-|||-(C) Delta ylt dylt 0 (D) lt Delta ylt 0

本题主要考察函数的微分、增量以及导数的几何意义，关键是利用导数的正负判断函数的单调性与凹凸性，进而比较增量$\Delta y$与微分$dy$的大小。

步骤1：明确微分与增量的定义

• 函数$y=f(x)$在点$x_0$处的微分：$dy=f'(x_0)\Delta x$（线性近似）。
• 函数增量：$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$（实际变化量）。
• 由拉格朗日中值定理：$\Delta y=f'(x_0+\theta\Delta x)\Delta x$（$0<\theta<1$）。

步骤2：利用导数性质比较$dy$与$\Delta y$

已知$f'(x)>0$（函数单调递增）且$f''(x)>0$（函数凹向上，导数单调递增）：

• 因为$x_0+\theta\Delta x>x_0$（$\Delta x>0$），且$f'(x)$单调递增，故$f'(x_0+\theta\Delta x)>f'(x_0)$。
• 两边同乘$\Delta x>0$，得：$f'(x_0+\theta\Delta x)\Delta x>f'(x_0)\Delta x$，即$\Delta y>dy$。

步骤3：判断$dy$的正负

因$f'(x_0)>0$且$\Delta x>0$，故$dy=f'(x_0)\Delta x>0$。

结论

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