题目
7、单选 函数 =x-ln ((x)^2+1) 在定义域内 ()-|||-(4分)-|||-A 函数为非单调函数-|||-B 极大值为 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_6ad87c8941ad5886950f7c4d3b90cb27.jpg-ln 2-|||-C 极小值为 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_6ad87c8941ad5886950f7c4d3b90cb27.jpg-ln 2-|||-D 无极值
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $y=x-\ln ({x}^{2}+1)$ 的导数。根据导数的定义和求导法则，我们有：
$$y' = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(\ln ({x}^{2}+1))$$
$$y' = 1 - \frac{2x}{{x}^{2}+1}$$
步骤 2：分析导数的符号
接下来，我们需要分析导数 $y'$ 的符号，以确定函数的单调性。我们有：
$$y' = \frac{{x}^{2}+1-2x}{{x}^{2}+1} = \frac{{(x-1)}^{2}}{{x}^{2}+1}$$
由于 ${x}^{2}+1$ 总是正的，因此导数 $y'$ 的符号取决于分子 ${(x-1)}^{2}$。由于 ${(x-1)}^{2}$ 总是非负的，因此导数 $y'$ 总是非负的，即 $y' \geqslant 0$。
步骤 3：确定函数的单调性
由于导数 $y'$ 总是非负的，因此函数 $y=x-\ln ({x}^{2}+1)$ 在定义域内是单调递增的。这意味着函数没有极值。
首先，我们需要求出函数 $y=x-\ln ({x}^{2}+1)$ 的导数。根据导数的定义和求导法则，我们有：
$$y' = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(\ln ({x}^{2}+1))$$
$$y' = 1 - \frac{2x}{{x}^{2}+1}$$
步骤 2：分析导数的符号
接下来，我们需要分析导数 $y'$ 的符号，以确定函数的单调性。我们有：
$$y' = \frac{{x}^{2}+1-2x}{{x}^{2}+1} = \frac{{(x-1)}^{2}}{{x}^{2}+1}$$
由于 ${x}^{2}+1$ 总是正的，因此导数 $y'$ 的符号取决于分子 ${(x-1)}^{2}$。由于 ${(x-1)}^{2}$ 总是非负的，因此导数 $y'$ 总是非负的，即 $y' \geqslant 0$。
步骤 3：确定函数的单调性
由于导数 $y'$ 总是非负的，因此函数 $y=x-\ln ({x}^{2}+1)$ 在定义域内是单调递增的。这意味着函数没有极值。