【题目】曲线 y=1/x+ln(1+e^x) 的渐近线的条数为A. 0B. 1C. 2D. 3

考查要点：本题主要考查函数渐近线的求解，包括垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线的判断。

解题核心思路：

1. 垂直渐近线：寻找函数趋向于无穷大的点，通常出现在分母为零或对数函数内部趋近于0的位置。
2. 水平渐近线：分析当$x \to \pm\infty$时函数的极限值。
3. 斜渐近线：当$x \to \infty$时，若函数增长为线性趋势，则需计算斜率$k$和截距$b$。

破题关键点：

• 分解函数：将函数拆分为$\frac{1}{x}$和$\ln(1+e^x)$两部分，分别分析渐近线。
• 极限分析：结合不同趋势（如$x \to 0, \pm\infty$）下的函数行为，综合判断渐近线的存在性。

垂直渐近线

当$x \to 0$时：

• $\frac{1}{x} \to \pm\infty$；
• $\ln(1+e^x) \to \ln 2$（有限值）。
  因此，$y \to \pm\infty$，垂直渐近线为$x=0$。

水平渐近线

1. 当$x \to -\infty$时：

   • $\frac{1}{x} \to 0$；
   • $e^x \to 0$，故$\ln(1+e^x) \approx e^x \to 0$。
     因此，$y \to 0$，水平渐近线为$y=0$。

2. 当$x \to +\infty$时：

   • $\frac{1}{x} \to 0$；
   • $\ln(1+e^x) \approx x$（主导项），故$y \to +\infty$，无水平渐近线。

斜渐近线

当$x \to +\infty$时：

• $\ln(1+e^x) = x + \ln(1+e^{-x}) \approx x + e^{-x}$；
• $y \approx \frac{1}{x} + x + e^{-x} \approx x$。
  计算斜率$k$和截距$b$：
• $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \frac{1}{x} + e^{-x}}{x} = 1$；
• $b = \lim_{x \to +\infty} (y - kx) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x} + e^{-x}\right) = 0$。
  因此，斜渐近线为$y = x$。