用初等行变换把矩阵A= 1 2 3 4 2 3 4 5 5 4 3 2 化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，并求矩阵A的秩.

考查要点：本题主要考查矩阵的初等行变换、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵的求解，以及矩阵秩的确定。

解题核心思路：

1. 行阶梯形矩阵：通过初等行变换，使每行首非零元素（主元）位于下方行的右侧，主元下方元素全为0。
2. 行最简形矩阵：在行阶梯形基础上，进一步将主元化为1，且主元所在列的其他元素全为0。
3. 秩：非零行的数量。

破题关键点：

• 初等行变换：灵活使用行交换、行倍乘、行相加操作。
• 主元处理：优先处理第一列，逐步向右下推进，确保每列仅有一个主元。
• 秩的判断：直接根据非零行的数量确定。

步骤1：化为行阶梯形矩阵

1. 处理第一列：

   • 第一行首元素为1，无需调整。
   • 第二行减去2倍第一行：
     $R2 = R2 - 2R1 \Rightarrow \begin{bmatrix}0 & -1 & -2 & -3\end{bmatrix}$
   • 第三行减去5倍第一行：
     $R3 = R3 - 5R1 \Rightarrow \begin{bmatrix}0 & -6 & -12 & -18\end{bmatrix}$
     矩阵变为：
     $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & -6 & -12 & -18 \end{bmatrix}$

2. 处理第二列：

   • 将第二行乘以-1，使主元为1：
     $R2 = -1 \cdot R2 \Rightarrow \begin{bmatrix}0 & 1 & 2 & 3\end{bmatrix}$
   • 第三行加上6倍第二行：
     $R3 = R3 + 6R2 \Rightarrow \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
     矩阵变为：
     $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

步骤2：化为行最简形矩阵

1. 消去第一行第二列元素：
   • 第一行减去2倍第二行：
     $R1 = R1 - 2R2 \Rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & -2\end{bmatrix}$
     矩阵变为：
     $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

步骤3：确定秩

• 非零行数量：矩阵中有2行非零行，因此秩为2。