4.下面函数中（）可以作为离散型随机变量的分布律。A. PX_{1)=k}=(e^-1)/(k!)(k=0,1,2..)B. PX_{2)=k}=(e^-1)/(k!)(k=1,2..)C. PX_{3)=k}=(1)/(a^k)(k=0,1,2..)D. PX_{4)=k}=(1)/(a^k)(k=-1,-2,-3..)

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的两个基本条件：

1. 每个概率值非负；
2. 所有可能取值的概率之和等于1。

解题核心思路：
对每个选项逐一验证两个条件，排除不符合的选项。

• 选项A：形式类似泊松分布，需验证总和是否为1；
• 选项B：与A相比缺少k=0项，总和必然小于1；
• 选项C和D：需分析参数$a$是否存在使总和为1的可能，注意选项D中$k$为负数时的变形。

选项A

表达式：$P\{X_1=k\} = \frac{e^{-1}}{k!}$（$k=0,1,2,\cdots$）

1. 非负性：$e^{-1} > 0$，$k! > 0$，故概率非负。
2. 总和验证：
   $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-1}}{k!} = e^{-1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e^{-1} \cdot e = 1$
   满足条件。

选项B

表达式：$P\{X_2=k\} = \frac{e^{-1}}{k!}$（$k=1,2,\cdots$）

1. 非负性：同选项A。
2. 总和验证：
   $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{e^{-1}}{k!} = e^{-1} \left( e - 1 \right) = 1 - e^{-1} \neq 1$
   不满足总和为1。

选项C

表达式：$P\{X_3=k\} = \frac{1}{a^k}$（$k=0,1,2,\cdots$）

1. 非负性：需$a > 0$。
2. 总和验证：
   $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{a^k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{a}} = \frac{a}{a-1}$
   要求$\frac{a}{a-1} = 1$，解得$a = \frac{1}{2}$，但题目未指定$a$，故不满足。

选项D

表达式：$P\{X_4=k\} = \frac{1}{a^k}$（$k=-1,-2,-3,\cdots$）

1. 非负性：需$a > 0$。
2. 总和验证：
   $\sum_{k=-1}^{-\infty} \frac{1}{a^k} = \sum_{n=1}^{\infty} a^n = \frac{a}{1 - a}$
   要求$\frac{a}{1 - a} = 1$，解得$a = \frac{1}{2}$，但题目未指定$a$，故不满足。