题目
2.解微分方程:-|||-(4) dfrac (dy)(dx)=dfrac (y)(x+{y)^2};
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
给定的微分方程是 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {y}{x+{y}^{2}}$。我们首先尝试分离变量，即把方程写成 $f(y)dy = g(x)dx$ 的形式。为此，我们对原方程两边同时乘以 $(x+y^2)$，得到 $(x+y^2)dy = ydx$。然后，我们把方程重新写为 $\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{x+y^2}$。
步骤 2：积分
接下来，我们对两边进行积分。左边是关于 $y$ 的积分，右边是关于 $x$ 的积分。左边的积分是 $\int \dfrac{1}{y} dy = \ln|y| + C_1$，其中 $C_1$ 是积分常数。右边的积分需要一些技巧，我们注意到如果设 $u = x + y^2$，则 $du = dx + 2ydy$。但是，由于我们已经分离了变量，我们直接对右边进行积分，得到 $\int \dfrac{dx}{x+y^2} = \int \dfrac{dx}{u} = \ln|u| + C_2 = \ln|x+y^2| + C_2$，其中 $C_2$ 是积分常数。
步骤 3：合并常数并求解
将两边的积分结果合并，我们得到 $\ln|y| = \ln|x+y^2| + C$，其中 $C = C_2 - C_1$ 是新的常数。为了简化，我们可以将等式两边的对数去掉，得到 $|y| = e^C|x+y^2|$。由于 $e^C$ 是一个正数，我们可以将其表示为一个新的常数 $C$，即 $y = C(x+y^2)$。最后，我们整理得到 $x = y^2 + Cy$。
给定的微分方程是 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {y}{x+{y}^{2}}$。我们首先尝试分离变量，即把方程写成 $f(y)dy = g(x)dx$ 的形式。为此，我们对原方程两边同时乘以 $(x+y^2)$，得到 $(x+y^2)dy = ydx$。然后，我们把方程重新写为 $\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{x+y^2}$。
步骤 2：积分
接下来，我们对两边进行积分。左边是关于 $y$ 的积分，右边是关于 $x$ 的积分。左边的积分是 $\int \dfrac{1}{y} dy = \ln|y| + C_1$，其中 $C_1$ 是积分常数。右边的积分需要一些技巧，我们注意到如果设 $u = x + y^2$，则 $du = dx + 2ydy$。但是，由于我们已经分离了变量，我们直接对右边进行积分，得到 $\int \dfrac{dx}{x+y^2} = \int \dfrac{dx}{u} = \ln|u| + C_2 = \ln|x+y^2| + C_2$，其中 $C_2$ 是积分常数。
步骤 3：合并常数并求解
将两边的积分结果合并，我们得到 $\ln|y| = \ln|x+y^2| + C$，其中 $C = C_2 - C_1$ 是新的常数。为了简化，我们可以将等式两边的对数去掉，得到 $|y| = e^C|x+y^2|$。由于 $e^C$ 是一个正数，我们可以将其表示为一个新的常数 $C$，即 $y = C(x+y^2)$。最后，我们整理得到 $x = y^2 + Cy$。