设 D 是由曲线 y = x^2 与直线 y = ax (a > 0) 所围成的平面图形，已知 D 分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，试求：（1）常数 a 的值；（2）平面图形 D 的面积。

我们来逐步解决这个题目。

题目分析

设平面区域 $ D $ 是由曲线 $ y = x^2 $ 与直线 $ y = ax $（其中 $ a > 0 $）所围成的图形。

已知：
当区域 $ D $ 绕 x轴 和 y轴 旋转一周时，所形成的两个旋转体的 体积相等。

要求：
（1）求常数 $ a $ 的值；
（2）求平面图形 $ D $ 的面积。

第一步：求两条曲线的交点

为了确定积分区间，先求曲线 $ y = x^2 $ 与直线 $ y = ax $ 的交点。

令：
$x^2 = ax \Rightarrow x^2 - ax = 0 \Rightarrow x(x - a) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{或} \quad x = a$

所以交点为 $ x = 0 $ 和 $ x = a $，对应的区间是 $ [0, a] $。

在这个区间内，由于 $ a > 0 $，且对于 $ x \in (0, a) $，有：
$ax > x^2 \quad ? \quad \text{我们验证一下}$

比如取 $ x = a/2 $，则：

• $ ax = a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2} $
• $ x^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} $

显然 $ ax > x^2 $，所以在 $ [0, a] $ 上，直线 $ y = ax $ 在抛物线 $ y = x^2 $ 的上方。

因此，区域 $ D $ 是由 $ x = 0 $ 到 $ x = a $，上边界为 $ y = ax $，下边界为 $ y = x^2 $ 的区域。

第二步：计算绕 x 轴旋转的体积 $ V_x $

使用圆盘法（washer method），绕 x 轴旋转：

体积元素为：
$dV = \pi \left[ (外半径)^2 - (内半径)^2 \right] dx$

外半径是上曲线 $ y = ax $，内半径是下曲线 $ y = x^2 $，所以：

$V_x = \pi \int_0^a \left[ (ax)^2 - (x^2)^2 \right] dx = \pi \int_0^a \left( a^2 x^2 - x^4 \right) dx$

计算积分：
$V_x = \pi \left[ a^2 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^a = \pi \left( a^2 \cdot \frac{a^3}{3} - \frac{a^5}{5} \right) = \pi \left( \frac{a^5}{3} - \frac{a^5}{5} \right) = \pi a^5 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \pi a^5 \cdot \frac{2}{15} = \frac{2\pi a^5}{15}$

第三步：计算绕 y 轴旋转的体积 $ V_y $

这里使用柱壳法（shell method），因为绕 y 轴旋转，且函数以 x 为自变量更方便。

柱壳法公式：
$V_y = 2\pi \int_0^a x \cdot \left[ 上函数 - 下函数 \right] dx = 2\pi \int_0^a x (ax - x^2) dx$

化简被积函数：
$x(ax - x^2) = a x^2 - x^3$

所以：
$V_y = 2\pi \int_0^a (a x^2 - x^3) dx = 2\pi \left[ a \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^a = 2\pi \left( a \cdot \frac{a^3}{3} - \frac{a^4}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{a^4}{3} - \frac{a^4}{4} \right) = 2\pi a^4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi a^4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi a^4}{6}$

第四步：根据题设 $ V_x = V_y $，求 $ a $

我们有：
$V_x = \frac{2\pi a^5}{15}, \quad V_y = \frac{\pi a^4}{6}$

令它们相等：
$\frac{2\pi a^5}{15} = \frac{\pi a^4}{6}$

两边同时除以 $ \pi a^4 $（注意 $ a > 0 $，所以 $ a^4 \ne 0 $）：
$\frac{2a}{15} = \frac{1}{6}$

解这个方程：
$2a = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{4}$

✅ 第（1）问答案：

$\boxed{a = \frac{5}{4}}$

第五步：求平面图形 D 的面积

面积公式：
$A = \int_0^a \left[ ax - x^2 \right] dx$

代入 $ a = \frac{5}{4} $，但我们可以先用符号计算，再代入。

$A = \int_0^a (ax - x^2) dx = \left[ a \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^a = a \cdot \frac{a^2}{2} - \frac{a^3}{3} = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} = a^3 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = a^3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{a^3}{6}$

代入 $ a = \frac{5}{4} $：
$a^3 = \left( \frac{5}{4} \right)^3 = \frac{125}{64}$

所以面积：
$A = \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{64} = \frac{125}{384}$

✅ 第（2）问答案：

$\boxed{\text{面积} = \frac{125}{384}}$

最终答案总结：

（1）常数 $ a $ 的值为：
$\boxed{a = \frac{5}{4}}$

（2）平面图形 $ D $ 的面积为：
$\boxed{\frac{125}{384}}$