题目

例18】(2022,数二,数三) lim _(x arrow 0)((1+e^x)/(2))^cot x=_.

例18】(2022,数二,数三) $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+e^{x}}{2}\right)^{\cot x}=_.$

题目解答

答案

设 $ y = \left( \frac{1+e^x}{2} \right)^{\cot x} $，取对数得 \[ \ln y = \cot x \ln \left( \frac{1+e^x}{2} \right). \] 当 $ x \to 0 $ 时，$ \cot x \to \infty $，且 \[ \ln \left( \frac{1+e^x}{2} \right) \sim \ln \left( 1 + \frac{x}{2} \right) \sim \frac{x}{2}. \] 因此， \[ \lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x \ln \left( \frac{1+e^x}{2} \right)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x \cdot \frac{x}{2}}{\sin x} = \frac{1}{2}. \] 由 $ \ln y \to \frac{1}{2} $，得 $ y \to e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} $。 **答案：** $\boxed{\sqrt{e}}$

解析

考查要点：本题主要考查指数函数与对数函数的极限，特别是处理形如$1^\infty$型未定式的极限方法。

解题核心思路：
当遇到$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}$型极限且属于$1^\infty$型未定式时，通常采用以下步骤：

  1. 取自然对数，将原式转化为$\lim_{x \to a} e^{\ln f(x) \cdot g(x)}$；
  2. 展开或近似处理$\ln f(x)$和$g(x)$，利用等价无穷小或泰勒展开简化表达式；
  3. 计算极限，最后对结果取指数。

破题关键点：

  • 识别未定式类型：原式为$\left(1+\text{小量}\right)^{\text{无穷大}}$，属于$1^\infty$型；
  • 正确展开$\ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right)$：利用泰勒展开或等价无穷小$\ln(1+t) \sim t$（当$t \to 0$）；
  • 简化$\cot x$的表达式：将$\cot x$写成$\frac{\cos x}{\sin x}$，并利用$\sin x \sim x$近似。

设$y = \left( \frac{1+e^x}{2} \right)^{\cot x}$，取对数得：
$\ln y = \cot x \cdot \ln \left( \frac{1+e^x}{2} \right).$

步骤1：分析$\cot x$的极限
当$x \to 0$时，$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \approx \frac{1}{x}$，因此$\cot x \to +\infty$。

步骤2：展开$\ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right)$
利用泰勒展开，当$x \to 0$时：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2),$
因此：
$\frac{1+e^x}{2} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + o(x^2).$
进一步取对数：
$\ln\left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4}\right) \approx \frac{x}{2} + \frac{x^2}{8} + o(x^2).$

步骤3：代入并简化表达式
将$\ln\left(\frac{1+e^x}{2}\right) \approx \frac{x}{2}$代入$\ln y$：
$\ln y \approx \cot x \cdot \frac{x}{2} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{x}{2}.$
当$x \to 0$时，$\cos x \approx 1$，$\sin x \approx x$，因此：
$\ln y \approx \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{2} = \frac{1}{2}.$

步骤4：求原式的极限
由$\ln y \to \frac{1}{2}$，得：
$y \to e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}.$