题目

55.计算由曲线y=|1-x^2|，直线x=2，x=-2及x轴所围成平面图形的面积A及该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V。

55.计算由曲线$y=|1-x^{2}|$，直线x=2，x=-2及x轴所围成平面图形的面积A及该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V。

题目解答

答案

  1. 计算面积 $ A $
    由 $ y = |1 - x^2| $，在 $[-2, 2]$ 内分段积分：
    $A = 2 \int_{0}^{2} |1 - x^2| \, dx = 2 \left( \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx \right) = 2 \left( \frac{2}{3} + \frac{4}{3} \right) = 4$

  2. 计算体积 $ V $
    用圆盘法：
    $V = \pi \int_{-2}^{2} y^2 \, dx = 2\pi \int_{0}^{2} y^2 \, dx = 2\pi \left( \int_{0}^{1} (1 - x^2)^2 \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 1)^2 \, dx \right) = 2\pi \left( \frac{8}{15} + \frac{38}{15} \right) = \frac{92\pi}{15}$

答案：
面积 $ A = \boxed{4} $，体积 $ V = \boxed{\frac{92\pi}{15}} $。

解析

本题主要考查定积分在求平面图形面积和旋转体体积方面的应用。解题的关键在于根据绝对值函数的性质对积分区间进行分段，然后分别计算各段的积分。

计算面积 $A$

  1. 首先分析函数 $y = |1 - x^2|$ 的性质：
    • 令 $1 - x^2 = 0$，解得 $x = \pm1$。
    • 当 $-1\leqslant x\leqslant1$ 时，$1 - x^2\geqslant0$，所以 $y = 1 - x^2$；当 $x\lt - 1$ 或 $x\gt1$ 时，$1 - x^2\lt0$，所以 $y=x^2 - 1$。
    • 由于函数 $y = |1 - x^2|$ 是偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称，所以所求图形的面积 $A$ 是 $x\in[0,2]$ 上图形面积的 $2$ 倍，即 $A = 2\int_{0}^{2}|1 - x^2|dx$。
  2. 然后对积分区间 $[0,2]$ 进行分段：
    • $A = 2\left(\int_{0}^{1}(1 - x^2)dx+\int_{1}^{2}(x^2 - 1)dx\right)$。
  3. 接着分别计算两个定积分：
    • 根据定积分公式 $\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，$\int_{0}^{1}(1 - x^2)dx=\int_{0}^{1}1dx-\int_{0}^{1}x^2dx$。
      • $\int_{0}^{1}1dx=x\big|_{0}^{1}=1 - 0 = 1$，$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{x^3}{3}\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$。
      • 所以 $\int_{0}^{1}(1 - x^2)dx=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
    • 对于 $\int_{1}^{2}(x^2 - 1)dx=\int_{1}^{2}x^2dx-\int_{1}^{2}1dx$。
      • $\int_{1}^{2}x^2dx=\frac{x^3}{3}\big|_{1}^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$，$\int_{1}^{2}1dx=x\big|_{1}^{2}=2 - 1 = 1$。
      • 所以 $\int_{1}^{2}(x^2 - 1)dx=\frac{7}{3}-1=\frac{4}{3}$。
  4. 最后计算面积 $A$ 的值：
    • $A = 2\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\right)=2\times2 = 4$。

计算体积 $V$

  1. 同样利用函数的对称性：
    • 由旋转体体积公式 $V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}dx$，因为函数 $y = |1 - x^2|$ 是偶函数，所以 $V=\pi\int_{-2}^{2}y^{2}dx = 2\pi\int_{0}^{2}y^{2}dx$。
    • 又因为 $y = |1 - x^2|$，所以 $V = 2\pi\left(\int_{0}^{1}(1 - x^2)^{2}dx+\int_{1}^{2}(x^2 - 1)^{2}dx\right)$。
  2. 先将被积函数展开：
    • $(1 - x^2)^{2}=1 - 2x^2+x^4$，$(x^2 - 1)^{2}=x^4 - 2x^2 + 1$。
  3. 然后分别计算两个定积分：
    • 对于 $\int_{0}^{1}(1 - x^2)^{2}dx=\int_{0}^{1}(1 - 2x^2+x^4)dx$。
      • 根据定积分公式 $\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq - 1)$，$\int_{0}^{1}(1 - 2x^2+x^4)dx=\int_{0}^{1}1dx-2\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{0}^{1}x^4dx$。
      • $\int_{0}^{1}1dx=x\big|_{0}^{1}=1$，$2\int_{0}^{1}x^2dx=2\times\frac{x^3}{3}\big|_{0}^{1}=\frac{2}{3}$，$\int_{0}^{1}x^4dx=\frac{x^5}{5}\big|_{0}^{1}=\frac{1}{5}$。
      • 所以 $\int_{0}^{1}(1 - x^2)^{2}dx=1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{15 - 10+3}{15}=\frac{8}{15}$。
    • 对于 $\int_{1}^{2}(x^2 - 1)^{2}dx=\int_{1}^{2}(x^4 - 2x^2 + 1)dx$。
      • $\int_{1}^{2}(x^4 - 2x^2 + 1)dx=\int_{1}^{2}x^4dx-2\int_{1}^{2}x^2dx+\int_{1}^{2}1dx$。
      • $\int_{1}^{2}x^4dx=\frac{x^5}{5}\big|_{1}^{2}=\frac{32}{5}-\frac{1}{5}=\frac{31}{5}$，$2\int_{1}^{2}x^2dx=2\times\frac{x^3}{3}\big|_{1}^{2}=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$，$\int_{1}^{2}1dx=x\big|_{1}^{2}=1$。
      • 所以 $\int_{1}^{2}(x^2 - 1)^{2}dx=\frac{31}{5}-\frac{14}{3}+1=\frac{93 - 70 + 15}{15}=\frac{38}{15}$。
  4. 最后计算体积 $V$ 的值：
    • $V = 2\pi\left(\frac{8}{15}+\frac{38}{15}\right)=2\pi\times\frac{46}{15}=\frac{92\pi}{15}$。