29.由下列各已知调和函数求解析函数 f(z)=u+iv =-|||-(1) =(x-y)((x)^2+4xy+(y)^2) ;-|||-(2) =dfrac (y)({x)^2+(y)^2} f(2)=0 ;-|||-(3) u=2(x-1)y f(2)=-i ;-|||-(4) =arctan dfrac (y)(x),xgt 0 -

题目考察知识

本题主要考察解析函数的性质及调和函数与解析函数的关系，核心知识点包括：

1. 解析函数的充要条件（柯西-黎曼方程）：若$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$解析，则$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$，且$u,v$均为调和函数（二阶偏导连续且满足拉普拉斯方程$\Delta u=\Delta v=0$）。
2. 由调和函数求解析函数的方法：
   • 若已知实部$u$，可通过积分柯西-黎曼方程求虚部$v$；
   • 若已知虚部$v$，可通过积分柯西-黎曼方程求实部$u$；
   • 利用复数形式的积分（如$f(z)=\int (u_x+iv_x)dz+C$）或变量替换$z=x+iy$简化计算。

各小题详细解析

(1) 已知$u=(x-y)(x^2+4xy+y^2)$，求$f(z)=u+iv$

步骤1：化简$u$的表达式
展开$u$：
$u=(x-y)(x^2+4xy+y^2)=x^3+4x^2y+xy^2-x^2y-4xy^2-y^3=x^3+3x^2y-3xy^2-y^3$
观察发现$u=\text{Re}((1-i)z^3)$，因为：
$(1-i)z^3=(1-i)(x+iy)^3=(1-i)(x^3+3x^2(iy)+3x(iy)^2+(iy)^3)=x^3+3x^2y-3xy^2-y^3+i(-x^3+3x^2y-3xy^2+y^3)$
其实部即为$u$，虚部为$v=-x^3+3x^2y-3xy^2+y^3$，满足柯西-黎曼方程。

步骤2：确定解析函数
故$f(z)=(1-i)z^3+C$，常数$C$为纯虚数（因实部已确定），记$C=ci$，得：
$f(z)=(1-i)z^3+ci$

(2) 已知$v=\frac{y}{x^2+y^2}$，$f(2)=0$，求$f(z)=u+iv$

步骤1：利用柯西-黎曼方程求$u$
已知$v=\frac{y}{x^2+y^2}$，则：
$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{(x^2+y^2)-y(2y)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$
由$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$，积分得：
$u=\int \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dx+C(y)$
计算积分（令$t=x^2+y^2$，$dt=2xdx$）：
$u=-\frac{x}{x^2+y^2}+C(y)$
再由$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$，$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$，则：
$\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}+C'(y)=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\implies C'(y)=0\implies C(y)=C$
故$u=-\frac{x}{x^2+y^2}+C$，$f(z)=u+iv=C-\frac{x+iy}{x^2+y^2}=C-\frac{1}{z}$（因$\frac{1}{z}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$，故$\frac{x+iy}{x^2+y^2}=-\frac{1}{\overline{z}}$？不，纠正：$\frac{1}{z}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$，则$\overline{\frac{1}{z}}=\frac{x+iy}{x^2+y^2}$，但此处$u+iv=C-\frac{x+iy}{x^2+y^2}$，而$-\frac{1}{z}=-\frac{x-iy}{x^2+y^2}$，发现之前符号错？重新看：$v=\frac{y}{x^2+y^2}=\text{Im}\left(\frac{i}{z}\right)$，因$\frac{i}{z}=\frac{i(x-iy)}{x^2+y^2}=\frac{y+ix}{x^2+y^2}$，其实部为$\frac{y}{x^2+y^2}$？不，$\frac{i}{z}=\frac{y}{x^2+y^2}+i\frac{x}{x^2+y^2}$，故$v=\text{Im}\left(\frac{i}{z}\right)=\frac{x}{x^2+y^2}$，哦！题目$v=\frac{y}{x^2+y^2}$，则$v=\text{Im}\left(-\frac{i}{z}\right)$，因$-\frac{i}{z}=-\frac{i(x-iy)}{x^2+y^2}=-\frac{y+ix}{x^2+y^2}=-\frac{y}{x^2+y^2}-i\frac{x}{x^2+y^2}$，不对。换用$f(z)=u+iv$，$u=-\frac{x}{x^2+y^2}+C$，则$f(z)=C-\frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{y}{x^2+y^2}=C-\frac{x-iy}{x^2+y^2}=C-\frac{1}{z}$（因$\frac{1}{z}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$），对！因为$-\frac{1}{z}=-\frac{x-iy}{x^2+y^2}=-\frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{y}{x^2+y^2}$，其实部为$-\frac{x}{x^2+y^2}$，虚部为$\frac{y}{x^2+y^2}$，正好是$u+C$（$C$为实常数）。

步骤2：用$f(2)=0$确定常数
$f(2)=C-\frac{1}{2}=0\implies C=\frac{1}{2}$，故：
$f(z)=\frac{1}{2}-\frac{1}{z}$

(3) 已知$u=2(x-1)y$，$f(2)=-i$，求$f(z)=u+iv$

步骤1：利用柯西-黎曼方程求$v$
$u=2(x-1)y$，则$\frac{\partial u}{\partial x}=2y$，$\frac{\partial u}{\partial y}=2(x-1)$。
由$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=2y$，积分得$v= y^2 + C(x)$。
由$\frac{\partial v}{\dx}=-\frac{\partial u}{\partial y}=-2(x-1)$，积分得$C(x)=-(x-1)^2 + C$，故：
$v=y^2-(x-1)^2+C$
则$f(z)=u+iv=2(x-1)y + i\left[y^2-(x-1)^2+C\right]=-i\left[(x-1)^2 - 2(x-1)y + y^2\right] + iC=-i(x-1-iy)^2 + iC=-i(z-1)^2 + iC$（因$z-1=(x-1)+iy$，\((z-1)^ \] ### (4) 已知$v=\arctan\frac{y}{x}(x>0)$，求$f(z)=u+iv$
步骤1：利用柯西-黎曼方程求$u$
$v=\arctan\frac{y}{x}(x>0)$，则$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2}$，$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)=-\frac{y}{x^2+y^2}$。
由$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}$，积分得$u=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+C(y)$。
由$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{y}{x^2+y^2}$，对$u$求导：$\frac{y}{x^2+y^2}+C'(y)=\frac{y}{x^2+y^2}\implies C'(y)=0\implies C(y)=C$。
故$u=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+C=\ln|z|+C$（$x>0$时$|z|=z$），则：
$f(z)=\ln z + C$