题目
已知当x→0时，函数f（x）＝3sinx－sin3x与cxk是等价无穷小，则（）。A. k＝1，c＝4B. k＝1，c＝－4C. k＝3，c＝4D. k＝3，c＝－4
已知当x→0时，函数f（x）＝3sinx－sin3x与cxk是等价无穷小，则（）。
A. k＝1，c＝4
B. k＝1，c＝－4
C. k＝3，c＝4
D. k＝3，c＝－4
题目解答
答案
C. k＝3，c＝4
解析
步骤 1：确定等价无穷小的定义
等价无穷小的定义是：当x→0时，如果两个函数f(x)和g(x)满足lim(x→0) f(x)/g(x) = 1，则称f(x)和g(x)是等价无穷小。
步骤 2：计算f(x)的泰勒展开式
函数f(x) = 3sinx - sin3x，当x→0时，可以使用泰勒展开式来近似计算f(x)。sinx的泰勒展开式为sinx = x - x^3/6 + O(x^5)，sin3x的泰勒展开式为sin3x = 3x - 27x^3/6 + O(x^5)。因此，f(x) = 3(x - x^3/6) - (3x - 27x^3/6) = 4x^3 + O(x^5)。
步骤 3：确定等价无穷小的条件
根据等价无穷小的定义，当x→0时，f(x)与cx^k是等价无穷小，即lim(x→0) f(x)/cx^k = 1。根据步骤2的计算结果，f(x) = 4x^3 + O(x^5)，因此，k = 3，c = 4。
等价无穷小的定义是：当x→0时，如果两个函数f(x)和g(x)满足lim(x→0) f(x)/g(x) = 1，则称f(x)和g(x)是等价无穷小。
步骤 2：计算f(x)的泰勒展开式
函数f(x) = 3sinx - sin3x，当x→0时，可以使用泰勒展开式来近似计算f(x)。sinx的泰勒展开式为sinx = x - x^3/6 + O(x^5)，sin3x的泰勒展开式为sin3x = 3x - 27x^3/6 + O(x^5)。因此，f(x) = 3(x - x^3/6) - (3x - 27x^3/6) = 4x^3 + O(x^5)。
步骤 3：确定等价无穷小的条件
根据等价无穷小的定义，当x→0时，f(x)与cx^k是等价无穷小，即lim(x→0) f(x)/cx^k = 1。根据步骤2的计算结果，f(x) = 4x^3 + O(x^5)，因此，k = 3，c = 4。