例3.1.9(习题1) A,B均为n阶方阵,则下述命题正确的是 () ,并请说明-|||-理由.-|||-(A)若 |A|=|B|, 则必有 =B; (B)若 neq B, 则必有 |A|neq |B| ;-|||-(C)若 neq B, 则必有 |A|=|B| ; (D)若 =B, 则必有 |A|=|B|.

考查要点：本题主要考查矩阵行列式的性质，特别是行列式与矩阵相等的关系。需要明确行列式的值是否唯一决定矩阵相等，或矩阵相等是否必然导致行列式相等。

解题核心思路：

1. 行列式的性质：行列式是矩阵的一个标量值，但不同的矩阵可能有相同的行列式。
2. 矩阵相等的定义：两个矩阵相等当且仅当所有对应元素都相等。
3. 逻辑关系：需判断命题中的条件与结论是否必然成立，可通过反例排除错误选项。

破题关键点：

• 选项D的必然性：若矩阵相等，行列式必然相等（显然成立）。
• 其他选项的反例：通过构造具体矩阵，说明选项A、B、C的结论不成立。

选项分析

(A) 若 $|A|=|B|$，则必有 $A=B$

错误。
反例：
设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，
则 $|A| = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1$，$|B| = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 1$，但 $A \neq B$。
结论：行列式相等不能推出矩阵相等。

(B) 若 $A \neq B$，则必有 $|A| \neq |B|$

错误。
反例：
设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，
则 $|A| = 1 \cdot 2 - 0 \cdot 0 = 2$，$|B| = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 1$。
但若取 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，则 $|A| = |B| = 1$，而 $A \neq B$。
结论：矩阵不等时行列式可能相等。

(C) 若 $A \neq B$，则必有 $|A| = |B|$

错误。
反例：
设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$，
则 $|A| = 1$，$|B| = -1$，但 $A \neq B$。
结论：矩阵不等时行列式可能不相等。

(D) 若 $A = B$，则必有 $|A| = |B|$

正确。
理由：若两个矩阵相等，则它们的对应元素完全相同，因此行列式的计算结果必然相等。