钥匙掉了，掉在宿舍里、教室里、路上的概率分别是 50%、30%和20%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1，试求找到钥匙的概率。

考查要点：本题主要考查全概率公式的应用，要求学生理解如何将复杂事件的概率分解为多个互斥子事件下的条件概率之和。

解题核心思路：

1. 识别事件关系：钥匙掉落在三个互斥且穷尽所有可能的地点（宿舍、教室、路上），构成完备事件组。
2. 应用全概率公式：找到钥匙的总概率等于在每个地点被找到的条件概率与对应地点概率的乘积之和。
3. 代入数值计算：将题目给出的概率值代入公式，逐项计算后求和。

破题关键点：

• 明确事件间的互斥性和完备性，确保全概率公式适用。
• 正确对应每个地点的掉落概率和被找到的条件概率。

设事件 $A$ 表示“找到钥匙”，事件 $B_1$、$B_2$、$B_3$ 分别表示“钥匙掉在宿舍里”、“教室里”、“路上”。根据全概率公式：
$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + P(A|B_3)P(B_3)$

代入已知概率：

• $P(B_1) = 0.5$，$P(A|B_1) = 0.8$
• $P(B_2) = 0.3$，$P(A|B_2) = 0.3$
• $P(B_3) = 0.2$，$P(A|B_3) = 0.1$

分项计算：

1. 宿舍情况：
   $P(A|B_1)P(B_1) = 0.8 \times 0.5 = 0.4$
2. 教室情况：
   $P(A|B_2)P(B_2) = 0.3 \times 0.3 = 0.09$
3. 路上情况：
   $P(A|B_3)P(B_3) = 0.1 \times 0.2 = 0.02$

总和计算：
$P(A) = 0.4 + 0.09 + 0.02 = 0.51$