516 lim_(x to infty) (x+sin x)/(x)A. 不存在.B. =0.C. =1

本题考查极限的计算，具体涉及到无穷大大极限的求解方法。

解题思路

对于极限$\lim_{x \to \infty} \frac{x+\sin x}{x}$，可按以下步骤分析：

1. 拆分分式：
   将分子拆分，原式可化为：
   $\frac{x+\sin x}{x} = \frac{x}{x} + \frac{\sin x}{x} = 1 + \frac{\sin x}{x}$

2. 分别计算极限：

• 当$x \to \infty$时，$\frac{x}{x}=1$，极限为1；
• 对于$\frac{\sin x}{x}$，由于$\sin x$是有界函数（$|\\\sinx|\leq1$），分母$x\to\infty$，根据有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量，得：
  $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

3. 合并结果：
   $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sin x}{x}\right) = 1 + 0 = 1$

选项分析

• A. 不存在：错误，极限存在且为1
• B. =0：错误计算结果为1
• C. =1：正确符合上述计算