29.设n阶矩阵A和B满足 +2B=AB.-|||-(1)证明: A-2E 为可逆矩阵,其中E为n阶单位矩阵;-|||-(2)证明: AB=BA ;-|||-1 2 0-|||-(3)已知B= -1 2 0 求矩阵A.-|||-0 0 3

考查要点：本题主要考查矩阵方程的变形、可逆矩阵的判定、矩阵乘法的交换性以及矩阵方程的求解。
解题思路：

1. 第（1）题：通过将原方程变形，构造出形如$(A-2E)C=E$的等式，从而直接得出$A-2E$可逆。
2. 第（2）题：利用第（1）题中得到的逆矩阵关系，通过验证乘法交换性来证明$AB=BA$。
3. 第（3）题：结合第（1）题的结论，通过求逆矩阵并代入具体数值矩阵，逐步计算得到矩阵$A$。

第（1）题

关键步骤：

1. 将原方程$A+2B=AB$变形为$AB - A - 2B = 0$。
2. 因式分解：$AB - A - 2B + 2E = 2E$，即$(A-2E)(B-E) = 2E$。
3. 两边同乘$\frac{1}{2}$得：$(A-2E) \cdot \frac{1}{2}(B-E) = E$，说明$A-2E$可逆，其逆矩阵为$\frac{1}{2}(B-E)$。

第（2）题

关键步骤：

1. 由第（1）题知$(A-2E)^{-1} = \frac{1}{2}(B-E)$。
2. 验证交换性：
   $(A-2E) \cdot \frac{1}{2}(B-E) = \frac{1}{2}(B-E) \cdot (A-2E) = E$
   展开后可得$AB = BA$。

第（3）题

关键步骤：

1. 由$(A-2E)^{-1} = \frac{1}{2}(B-E)$，得$A = 2(B-E)^{-1} + 2E$。
2. 计算$(B-E)^{-1}$：
   $B-E = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad (B-E)^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$
3. 代入求$A$：
   $A = 2 \cdot (B-E)^{-1} + 2E = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$