题目
3.求函数 (x,y,z)=(x)^2+(y)^3+(z)^2-xyz 在点P(1,0,1)处沿从点P(1,0,1)到点Q(2,1,2)的方向-|||-的方向导数.
题目解答
答案
本题考查了方向导数的计算，属于基础题。
$\overrightarrow {PQ}=(1,1,1)$, $\cos \alpha =\cos \beta =\cos \gamma =\dfrac {\sqrt {3}}{3}$, $\dfrac {\partial f}{\partial x}|_{(1,0,1)}=(2x-yz)|_{(1,0,1)}=2$, $\dfrac {\partial f}{\partial y}|_{(1,0,1)}=(3{y}^{2}-xz)|_{(1,0,1)}=-1$, $\dfrac {\partial f}{\partial z}|_{(1,0,1)}=(2z-xy)|_{(1,0,1)}=2$, $\dfrac {\partial f}{\partial t}|(1,0,1)=\dfrac {\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\dfrac {\partial f}{\partial y}\cos \beta +\dfrac {\partial f}{\partial z}\cos \gamma $ $=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}-\dfrac {\sqrt {3}}{3}+\dfrac {2\sqrt {3}}{3}=\sqrt {3}$.
$\overrightarrow {PQ}=(1,1,1)$, $\cos \alpha =\cos \beta =\cos \gamma =\dfrac {\sqrt {3}}{3}$, $\dfrac {\partial f}{\partial x}|_{(1,0,1)}=(2x-yz)|_{(1,0,1)}=2$, $\dfrac {\partial f}{\partial y}|_{(1,0,1)}=(3{y}^{2}-xz)|_{(1,0,1)}=-1$, $\dfrac {\partial f}{\partial z}|_{(1,0,1)}=(2z-xy)|_{(1,0,1)}=2$, $\dfrac {\partial f}{\partial t}|(1,0,1)=\dfrac {\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\dfrac {\partial f}{\partial y}\cos \beta +\dfrac {\partial f}{\partial z}\cos \gamma $ $=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}-\dfrac {\sqrt {3}}{3}+\dfrac {2\sqrt {3}}{3}=\sqrt {3}$.
解析
步骤 1：计算向量 $\overrightarrow {PQ}$
向量 $\overrightarrow {PQ}$ 可以通过点Q的坐标减去点P的坐标得到，即 $\overrightarrow {PQ}=(2-1,1-0,2-1)=(1,1,1)$。
步骤 2：计算方向余弦
方向余弦 $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ 分别是向量 $\overrightarrow {PQ}$ 在x轴、y轴、z轴上的投影与向量 $\overrightarrow {PQ}$ 的模的比值。由于 $\overrightarrow {PQ}=(1,1,1)$，其模为 $\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$，因此 $\cos \alpha =\cos \beta =\cos \gamma =\dfrac {1}{\sqrt{3}}=\dfrac {\sqrt {3}}{3}$。
步骤 3：计算偏导数
函数 $f(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{3}+{z}^{2}-xyz$ 在点P(1,0,1)处的偏导数为：
$\dfrac {\partial f}{\partial x}|_{(1,0,1)}=(2x-yz)|_{(1,0,1)}=2$，
$\dfrac {\partial f}{\partial y}|_{(1,0,1)}=(3{y}^{2}-xz)|_{(1,0,1)}=-1$，
$\dfrac {\partial f}{\partial z}|_{(1,0,1)}=(2z-xy)|_{(1,0,1)}=2$。
步骤 4：计算方向导数
方向导数 $\dfrac {\partial f}{\partial t}|(1,0,1)$ 可以通过偏导数与方向余弦的乘积之和得到，即：
$\dfrac {\partial f}{\partial t}|(1,0,1)=\dfrac {\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\dfrac {\partial f}{\partial y}\cos \beta +\dfrac {\partial f}{\partial z}\cos \gamma$ $=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}-\dfrac {\sqrt {3}}{3}+\dfrac {2\sqrt {3}}{3}=\sqrt {3}$。
向量 $\overrightarrow {PQ}$ 可以通过点Q的坐标减去点P的坐标得到，即 $\overrightarrow {PQ}=(2-1,1-0,2-1)=(1,1,1)$。
步骤 2：计算方向余弦
方向余弦 $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ 分别是向量 $\overrightarrow {PQ}$ 在x轴、y轴、z轴上的投影与向量 $\overrightarrow {PQ}$ 的模的比值。由于 $\overrightarrow {PQ}=(1,1,1)$，其模为 $\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$，因此 $\cos \alpha =\cos \beta =\cos \gamma =\dfrac {1}{\sqrt{3}}=\dfrac {\sqrt {3}}{3}$。
步骤 3：计算偏导数
函数 $f(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{3}+{z}^{2}-xyz$ 在点P(1,0,1)处的偏导数为：
$\dfrac {\partial f}{\partial x}|_{(1,0,1)}=(2x-yz)|_{(1,0,1)}=2$，
$\dfrac {\partial f}{\partial y}|_{(1,0,1)}=(3{y}^{2}-xz)|_{(1,0,1)}=-1$，
$\dfrac {\partial f}{\partial z}|_{(1,0,1)}=(2z-xy)|_{(1,0,1)}=2$。
步骤 4：计算方向导数
方向导数 $\dfrac {\partial f}{\partial t}|(1,0,1)$ 可以通过偏导数与方向余弦的乘积之和得到，即：
$\dfrac {\partial f}{\partial t}|(1,0,1)=\dfrac {\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\dfrac {\partial f}{\partial y}\cos \beta +\dfrac {\partial f}{\partial z}\cos \gamma$ $=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}-\dfrac {\sqrt {3}}{3}+\dfrac {2\sqrt {3}}{3}=\sqrt {3}$。