将一枚硬币连掷三次，X表示“三次中正面出现的次数”，求X的分布律及分布函数，并求下列概率值：(1)P1lt Xlt 3；(2)PXgeqslant 5.5；(3)P1lt Xleqslant 3.

考查要点：本题主要考查二项分布的分布律、分布函数的求解，以及利用分布律计算特定事件的概率。

解题核心思路：

1. 确定分布类型：三次独立重复试验中正面出现的次数$X$服从二项分布$B(3, \frac{1}{2})$。
2. 计算分布律：利用二项分布公式$P(X=k) = C(3,k) \left(\frac{1}{2}\right)^3$，列出所有可能取值的概率。
3. 分布函数：根据分布律分段写出累积概率。
4. 计算概率值：通过分布律直接求对应事件的概率。

破题关键：

• 二项分布的公式应用。
• 分布函数的分段表达。
• 事件的取值范围分析（如$X \geqslant 5.5$不可能发生）。

分布律

$X$的可能取值为$0,1,2,3$，概率计算如下：

• $P(X=0) = C(3,0) \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$
• $P(X=1) = C(3,1) \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8}$
• $P(X=2) = C(3,2) \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8}$
• $P(X=3) = C(3,3) \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$

分布函数

分段表达如下：

• 当$x < 0$时，$F(x) = 0$；
• 当$0 \leq x < 1$时，$F(x) = \frac{1}{8}$；
• 当$1 \leq x < 2$时，$F(x) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$；
• 当$2 \leq x < 3$时，$F(x) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}$；
• 当$x \geq 3$时，$F(x) = 1$。

概率计算

1. $P\{1 < X < 3\}$：
   $X$只能取整数，因此等价于$X=2$，概率为$\frac{3}{8}$。
2. $P\{X \geqslant 5.5\}$：
   $X$最大值为$3$，不可能满足，概率为$0$。
3. $P\{1 < X \leqslant 3\}$：
   包含$X=2$和$X=3$，概率为$\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$。