题目

8.已知一平面图形由抛物线y=x^2,y=-x^2+8围成，求：(1)此平面图形的面积；(2)此平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。

8.已知一平面图形由抛物线$y=x^{2},y=-x^{2}+8$围成，求： (1)此平面图形的面积； (2)此平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。

题目解答

答案

(1) **求平面图形的面积** 交点：解 $x^2 = -x^2 + 8$ 得 $x = \pm 2$。面积： \[ S = \int_{-2}^{2} \left[ (-x^2 + 8) - x^2 \right] \, dx = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) \, dx = \left[ 8x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{64}{3} \] **答案：** $\boxed{\frac{64}{3}}$ (2) **求旋转体的体积** 圆盘法： \[ V = \pi \int_{0}^{4} y \, dy + \pi \int_{4}^{8} (8 - y) \, dy = 8\pi + 8\pi = 16\pi \] **答案：** $\boxed{16\pi}$

解析

考查要点：本题主要考查平面图形的面积计算及旋转体体积的求解方法，涉及积分应用中的积分上下限确定、函数图像交点求解以及圆盘法（或壳层法）的应用。

解题核心思路：

求面积：先找到两抛物线的交点，确定积分区间；再通过积分计算上方曲线与下方曲线的垂直距离在区间内的积分。
求体积：绕y轴旋转时，选择圆盘法，将体积分为两部分积分：当$0 \leq y \leq 4$时，横截面半径由$y=x^2$决定；当$4 \leq y \leq 8$时，横截面半径由$y=-x^2+8$决定。

破题关键点：

交点求解：联立两抛物线方程，解得$x = \pm 2$，确定积分区间。
分段积分：体积计算需根据y的不同范围分段处理，避免混淆半径表达式。

第（1）题：平面图形的面积

求交点

联立抛物线方程：
$x^2 = -x^2 + 8 \implies 2x^2 = 8 \implies x = \pm 2.$
交点为$(\pm 2, 4)$。

积分计算

在区间$[-2, 2]$内，上方曲线为$y = -x^2 + 8$，下方曲线为$y = x^2$，面积为：
$S = \int_{-2}^{2} \left[ (-x^2 + 8) - x^2 \right] dx = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) dx.$

计算定积分

$\int (8 - 2x^2) dx = 8x - \frac{2x^3}{3}.$
代入上下限：
$\left[ 8x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 16 - \frac{16}{3} \right) - \left( -16 + \frac{16}{3} \right) = \frac{64}{3}.$

第（2）题：旋转体的体积

圆盘法分段积分

当$0 \leq y \leq 4$时，横截面半径由$y = x^2$得$x = \sqrt{y}$，体积元素为：
$dV_1 = \pi (\sqrt{y})^2 dy = \pi y \, dy.$
积分得：
$V_1 = \pi \int_{0}^{4} y \, dy = \frac{1}{2} \pi y^2 \Big|_{0}^{4} = 8\pi.$

当$4 \leq y \leq 8$时，横截面半径由$y = -x^2 + 8$得$x = \sqrt{8 - y}$，体积元素为：
$dV_2 = \pi (\sqrt{8 - y})^2 dy = \pi (8 - y) \, dy.$
积分得：
$V_2 = \pi \int_{4}^{8} (8 - y) \, dy = \pi \left[ 8y - \frac{y^2}{2} \right]_{4}^{8} = 8\pi.$

总体积

$V = V_1 + V_2 = 8\pi + 8\pi = 16\pi.$