设(x)+(x)^2f(dfrac (1)(x))=dfrac ({x)^2+2x}(x+1) 求f(x)

考查要点：本题主要考查函数方程的解法，特别是通过变量替换构造方程组并消元的方法。

解题核心思路：

1. 变量替换：将原方程中的$x$替换为$\dfrac{1}{x}$，得到第二个方程。
2. 联立方程组：通过联立原方程和替换后的方程，消去$f\left(\dfrac{1}{x}\right)$，解出$f(x)$。
3. 代数运算：注意分式化简和方程的线性组合，确保运算过程中符号和系数的准确性。

破题关键点：

• 正确替换变量，确保替换后的方程与原方程形式一致。
• 合理选择方程组合方式，通过乘法调整系数，实现消元目标。

原方程：
$2f(x) + x^{2}f\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{x^{2} + 2x}{x + 1} \quad \text{(1)}$

步骤1：变量替换
将$x$替换为$\dfrac{1}{x}$，得到：
$2f\left(\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{1}{x^{2}}f(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{2}{x}}{\dfrac{1}{x} + 1} \quad \text{(2)}$

步骤2：化简方程(2)
分子：$\dfrac{1}{x^{2}} + \dfrac{2}{x} = \dfrac{1 + 2x}{x^{2}}$
分母：$\dfrac{1}{x} + 1 = \dfrac{1 + x}{x}$
因此，方程(2)化简为：
$2f\left(\dfrac{1}{x}\right) + \dfrac{1}{x^{2}}f(x) = \dfrac{1 + 2x}{x(x + 1)}$

步骤3：调整方程形式
将方程(2)两边乘以$x^{2}$，得到：
$2x^{2}f\left(\dfrac{1}{x}\right) + f(x) = \dfrac{x(1 + 2x)}{x + 1} \quad \text{(2a)}$

步骤4：联立方程消元

• 方程(1)：$2f(x) + x^{2}f\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{x^{2} + 2x}{x + 1}$
• 方程(2a)：$f(x) + 2x^{2}f\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{x(1 + 2x)}{x + 1}$

操作：将方程(1)乘以2，再减去方程(2a)：
$\begin{aligned}4f(x) + 2x^{2}f\left(\dfrac{1}{x}\right) & = \dfrac{2(x^{2} + 2x)}{x + 1} \\\underline{-\quad f(x) - 2x^{2}f\left(\dfrac{1}{x}\right)} & \underline{= -\dfrac{x(1 + 2x)}{x + 1}} \\3f(x) & = \dfrac{3x}{x + 1}\end{aligned}$

步骤5：解得$f(x)$
$f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$