设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-1,1)上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数。 (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

考查要点：本题主要考查偶函数和奇函数的运算性质，特别是它们的和与积的奇偶性判断。
解题核心思路：

1. 利用定义法：根据偶函数（$f(-x)=f(x)$）和奇函数（$f(-x)=-f(x)$）的定义，直接代入和或积的形式进行验证。
2. 分情况讨论：分别处理偶函数相加、奇函数相加，以及偶函数相乘、奇函数相乘、偶奇相乘的情况。
   破题关键点：

• 符号处理：在乘积中，奇函数的负号相乘可能产生正号，需特别注意符号变化。
• 代数推导：严格按照定义展开表达式，避免跳步导致逻辑错误。

第（1）题：和的奇偶性

证明两个偶函数的和是偶函数

设$F(x)=f(x)+g(x)$，其中$f(x)$和$g(x)$均为偶函数。
根据偶函数定义：
$F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),$
因此$F(x)$是偶函数。

证明两个奇函数的和是奇函数

设$F(x)=f(x)+g(x)$，其中$f(x)$和$g(x)$均为奇函数。
根据奇函数定义：
$F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),$
因此$F(x)$是奇函数。

第（2）题：积的奇偶性

证明两个偶函数的积是偶函数

设$F(x)=f(x) \cdot g(x)$，其中$f(x)$和$g(x)$均为偶函数。
根据偶函数定义：
$F(-x)=f(-x) \cdot g(-x)=f(x) \cdot g(x)=F(x),$
因此$F(x)$是偶函数。

证明两个奇函数的积是偶函数

设$F(x)=f(x) \cdot g(x)$，其中$f(x)$和$g(x)$均为奇函数。
根据奇函数定义：
$F(-x)=f(-x) \cdot g(-x)=(-f(x)) \cdot (-g(x))=f(x) \cdot g(x)=F(x),$
因此$F(x)$是偶函数。

证明偶函数与奇函数的积是奇函数

设$F(x)=f(x) \cdot g(x)$，其中$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数。
根据定义：
$F(-x)=f(-x) \cdot g(-x)=f(x) \cdot (-g(x))=-f(x) \cdot g(x)=-F(x),$
因此$F(x)$是奇函数。