设二维离散型随机 变量 ( X , Y ) 的联合分布律为Y 0 1 2 3-|||-X-|||-0 0.1 0.1 2a 0.1-|||-1 0 0.1 0.1 0-|||-2 a 0 0 0.2，则P(X=0)的值是( ) A 0.1 B 0.5 C 0.2 D 1
设二维离散型随机 变量 ( X , Y ) 的联合分布律为
，则P{X=0}的值是( )
A 0.1
B 0.5
C 0.2
D 1
题目解答
答案
要求P(X = 0)，即求X = 0时的概率之和。在联合分布律中，P(X = 0)等于X = 0与不同Y值对应的概率之和。
P(X = 0)=0.1 + 0.1 + 2a + 0.1。
又因为所有概率之和为1，可得：
0.1 + 0.1 + 2a + 0.1 + 0 + 0.1 + 0.1 + a + 0 + 0 + 0.2 = 1。
0.7 + 3a = 1，移项可得3a = 1 - 0.7 = 0.3，解得a = 0.1。
将a = 0.1代入P(X = 0)=0.1 + 0.1 + 2a + 0.1，可得
综上所述，答案是 B。
解析
考查要点：本题主要考查二维离散型随机变量的联合分布律性质，以及边缘概率的计算方法。
解题核心思路：
- 利用联合分布律的归一性：所有可能取值对应的概率之和等于1，由此可解出未知参数$a$。
- 计算边缘概率：在已知$a$的值后，将$X=0$对应的所有$Y$取值的概率相加，得到$P\{X=0\}$。
破题关键点：
- 正确识别表格结构：明确行对应$X$的取值，列对应$Y$的取值，对应单元格为联合概率$P(X=i, Y=j)$。
- 建立方程求解$a$：通过总概率为1的条件，列出方程并解出$a$。
- 求和计算边缘概率：将$X=0$行的所有概率相加，注意代入$a$的值。
步骤1：确定联合分布律的总概率
根据联合分布律的归一性，所有概率之和为1：
$\begin{aligned}0.1 + 0.1 + 2a + 0.1 \quad (\text{X=0行}) \\+ 0 + 0.1 + 0.1 + 0 \quad (\text{X=1行}) \\+ a + 0 + 0 + 0.2 \quad (\text{X=2行}) \\= 1.\end{aligned}$
步骤2：解方程求$a$
将各项相加：
$0.3 + 2a + 0.2 + a + 0.2 = 0.7 + 3a = 1.$
解得：
$3a = 0.3 \quad \Rightarrow \quad a = 0.1.$
步骤3：计算$P\{X=0\}$
将$a=0.1$代入$X=0$行的概率之和：
$P\{X=0\} = 0.1 + 0.1 + 2 \times 0.1 + 0.1 = 0.5.$