1.求下列极限:-|||-(12) lim _(xarrow 0)(x)^2(e)^dfrac (1{{x)^2}} ;

题目1：求极限$\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}{e}^{\frac{1}{{x}^{2}}}$

考察知识：极限计算（含指数函数的极限）、变量替换法。
解题思路：
当$x\rightarrow0$时，$\frac{1}{x^2}\rightarrow+\infty$，指数函数$e^{\frac{1}{x^2}}$趋向于$+\infty$，但$x^2$趋向于$0$，属于“$0\cdot\infty$型”极限，需转化为分式形式用洛必达法则或变量替换。

方法一：变量替换

设$t=\frac{1}{x^2}$，则当$x\rightarrow0$时，$t\rightarrow+\infty$，且$x^2=\fracfrac{1}{t}$，原式转化为：
$\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}{e}^{\frac{1}{{x}^{2}}}=\lim _{t\rightarrow+\infty}\frac{e^t}{t}$
此为“$\frac{\infty}{\infty}$型”极限，适用洛必达法则：

• 分子导数：$(e^t)'=e^t$
• 分母导数：$t'=1$
  多次求导后仍为$\frac{e^t}{1}\rightarrow+\infty$，故极限为$+\infty$。