第二问的构造函数分析的思路是什么39.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 (0)=0, (dfrac (1)(2))=2, (1)=dfrac (1)(2) .-|||-(1)证明:存在 in (0,1), 使得 (c)=c;-|||-(2)证明:存在 xi in (0,1), 使得 '(xi )+f(xi )=1+xi .-|||-第328n-19+14n

步骤 1：构造辅助函数
为了证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi )+f(\xi )=1+\xi $，我们首先构造一个辅助函数 $g(x)$，使得 $g'(x)$ 与 $f'(x)+f(x)$ 有关。考虑函数 $g(x) = e^x f(x) - e^x x$，因为 $e^x$ 是一个正函数，所以 $g(x)$ 的导数 $g'(x)$ 可以帮助我们找到 $f'(x)+f(x)$ 的形式。

步骤 2：计算辅助函数的导数
计算 $g(x)$ 的导数 $g'(x)$，我们有：
$$
g'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x f(x) - e^x x \right) = e^x f'(x) + e^x f(x) - e^x - e^x x = e^x (f'(x) + f(x) - 1 - x)
$$
因此，$g'(x) = e^x (f'(x) + f(x) - 1 - x)$。

步骤 3：应用罗尔定理
根据题设条件，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。我们计算 $g(0)$ 和 $g(1)$：
$$
g(0) = e^0 f(0) - e^0 \cdot 0 = 0
$$
$$
g(1) = e^1 f(1) - e^1 \cdot 1 = e \cdot \frac{1}{2} - e = -\frac{e}{2}
$$
因为 $g(0) = 0$，$g(1) = -\frac{e}{2}$，所以 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $g(0) \neq g(1)$。根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $g'(\xi) = 0$，即：
$$
e^\xi (f'(\xi) + f(\xi) - 1 - \xi) = 0
$$
因为 $e^\xi > 0$，所以 $f'(\xi) + f(\xi) - 1 - \xi = 0$，即 $f'(\xi) + f(\xi) = 1 + \xi$。