1 单选 (4分) 极限 的值为 ()-|||-lim _(xarrow +infty )((1+x))^dfrac (1{x)}-|||-A.e-|||-B.1-|||-C.∞-|||-D. ^-1

本题主要考察极限的计算，具体涉及到重要极限公式以及洛必达法则的应用。

题目1：求极限$\lim _{x\rightarrow +\infty }{(1+x)}^{\frac {1}{x}}$

解题思路：

对于$1^\infty$型极限（底数趋近于1，指数趋近于0），通常转化为指数形式求解：
设$y=(1+x)^{\frac{1}{x}}$，取自然对数得$\ln y=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则原极限转化为$\lim_{x\rightarrow +\infty} e^{\ln y}=e^{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(1+x)}{x}}$。

计算$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(1+x)}{x}$：
当$x\rightarrow +\infty$时，分子$\ln(1+x)$和分母$x$均趋近于$+\infty$，属于$\frac{\infty}{\infty}$型，适用洛必达法则：
对分子分母分别求导，分子导数为$\frac{1}{1+x}$，分母导数为1，故极限为$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{1+x}=0$。

还原指数形式：$e^0=1$，因此原极限值为1。