题目

求下列函数的极值点:___-|||-=3axy-(x)^3-(y)^3(agt 0);

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二元函数极值点的求解方法，包括一阶偏导数求解临界点和二阶导数检验法的应用。

解题核心思路：

  1. 求一阶偏导数，联立方程组解出临界点；
  2. 计算二阶偏导数，构造Hessian矩阵；
  3. 判断Hessian行列式 $AC - B^2$ 的符号，结合 $A$ 的符号确定临界点的性质。

破题关键点：

  • 正确求解偏导数，特别注意混合偏导数的计算；
  • 代入临界点时，准确计算二阶偏导数的值；
  • Hessian行列式的符号决定临界点是否为极值点，结合 $A$ 的符号进一步判断极大或极小。

步骤1：求一阶偏导数并解方程组

函数 $z = 3axy - x^3 - y^3$ 的一阶偏导数为：
$\begin{cases}z_x = 3ay - 3x^2 = 0 \\z_y = 3ax - 3y^2 = 0\end{cases}$

解方程组：

  1. 情况1：$x = 0$，代入第二个方程得 $y = 0$，临界点为 $(0, 0)$；
  2. 情况2：联立 $3ay = 3x^2$ 和 $3ax = 3y^2$，消去系数得：
    $y = \frac{x^2}{a}, \quad x = \frac{y^2}{a}$
    代入消元得 $x = a$，对应 $y = a$，临界点为 $(a, a)$。

步骤2：计算二阶偏导数

$\begin{cases}z_{xx} = -6x \\z_{xy} = 3a \\z_{yy} = -6y\end{cases}$

步骤3：二阶导数检验法

  • 点 $(0, 0)$：

    • $A = z_{xx}(0,0) = 0$，$B = z_{xy}(0,0) = 3a$，$C = z_{yy}(0,0) = 0$；
    • Hessian行列式 $AC - B^2 = 0 \cdot 0 - (3a)^2 = -9a^2 < 0$，不是极值点。

  • 点 $(a, a)$：

    • $A = z_{xx}(a,a) = -6a$，$B = z_{xy}(a,a) = 3a$，$C = z_{yy}(a,a) = -6a$；
    • Hessian行列式 $AC - B^2 = (-6a)(-6a) - (3a)^2 = 27a^2 > 0$，且 $A < 0$，为极大值点。