lim_(x arrow 1) (sin^2(x-1))/(x^2)-1

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理0/0型不定式的能力，需要灵活运用洛必达法则或变量替换等技巧。

解题核心思路：
当直接代入$x=1$导致分母和分子均为0时，优先考虑洛必达法则。通过求分子和分母的导数，将原极限转化为新的分式极限。若仍为不定式，可重复应用洛必达法则或进一步化简。

破题关键点：

1. 识别分母$x^2-1$可分解为$(x-1)(x+1)$，分子$\sin^2(x-1)$可视为$\sin(x-1) \cdot \sin(x-1)$。
2. 应用洛必达法则后，分子导数为$2\sin(x-1)\cos(x-1)$，分母导数为$2x$，简化后直接代入$x=1$即可求得极限。

步骤1：验证极限类型
当$x \rightarrow 1$时，分子$\sin^2(x-1) \rightarrow 0$，分母$x^2-1 \rightarrow 0$，属于0/0型不定式，可应用洛必达法则。

步骤2：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dx} \sin^2(x-1) = 2\sin(x-1)\cos(x-1)$
• 分母导数：$\frac{d}{dx} (x^2-1) = 2x$

原极限转化为：
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2\sin(x-1)\cos(x-1)}{2x}$

步骤3：化简并代入极限
约分后得：
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sin(x-1)\cos(x-1)}{x}$
当$x \rightarrow 1$时，$\sin(x-1) \rightarrow 0$，$\cos(x-1) \rightarrow 1$，分母$x \rightarrow 1$，因此整体极限为：
$\frac{0 \cdot 1}{1} = 0$