以下说法正确的是()A. 幂级数的和在收敛圆内部是解析函数B. 求导可以改变收敛圆的半径C. 幂级数的和在收敛圆内部可以有奇点

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛性、解析性以及求导对收敛半径的影响，属于复变函数或数学分析中的核心概念。

解题核心思路：

1. 幂级数的和函数性质：在收敛圆内，幂级数的和函数是解析的，且其解析性由幂级数本身决定。
2. 求导与收敛半径：幂级数逐项求导后的收敛半径与原级数相同。
3. 奇点的存在性：和函数在收敛圆内部若存在奇点，则与解析性矛盾。

破题关键点：

• 选项A：利用幂级数在收敛圆内绝对收敛且和函数解析的性质。
• 选项B：明确求导操作不改变收敛半径的本质原因。
• 选项C：结合解析函数局部可展开为泰勒级数的特性，排除内部奇点的可能性。

选项A分析

幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ 的收敛圆由收敛半径 $R$ 确定。根据幂级数的和函数性质，在收敛圆 $|z-z_0| < R$ 内，和函数 $S(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ 绝对收敛且解析。解析性意味着 $S(z)$ 在每一点的邻域内可展开为泰勒级数，因此选项A正确。

选项B分析

对幂级数逐项求导后得到 $\sum_{n=1}^\infty n a_n(z-z_0)^{n-1}$，其收敛半径仍为原级数的 $R$。这是因为收敛半径由系数的渐进行为决定，求导仅改变系数但不改变其渐近衰减速度。因此选项B错误。

选项C分析

若和函数 $S(z)$ 在收敛圆内部存在奇点，则在奇点附近无法表示为泰勒级数，这与解析函数的局部泰勒展开性矛盾。因此和函数在收敛圆内部不能有奇点，选项C错误。