题目

1.将两个球随机地放入三个盒子中,若x-|||-和Y分别表示放入第一个、第二个盒子中球的-|||-个数.-|||-(1)试写出随机变量X和Y的联合分-|||-布律;-|||-(2)求 X=P .

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二维离散型随机变量的联合分布律以及事件概率的计算。关键在于理解球放入盒子的可能情况，并正确统计各组合的概率。

解题思路：

  1. 确定所有可能的放法：两个球分别放入三个盒子，共有 $3 \times 3 = 9$ 种等可能情况。
  2. 分析随机变量取值：$X$ 和 $Y$ 的取值为 $0,1,2$，但需满足 $X + Y \leq 2$（因总球数为2）。
  3. 统计联合事件概率：通过枚举所有可能的放法，统计 $(X,Y)$ 的组合出现次数，计算概率。
  4. 计算 $P\{X=Y\}$：找出满足 $X=Y$ 的情况，将对应概率相加。

第（1）题

联合分布律的推导：

  1. 枚举所有放法：每个球有3种选择，共9种情况。
  2. 统计 $(X,Y)$ 的组合：
    • $(2,0)$：两球均在第一个盒子，共1种，概率 $\frac{1}{9}$。
    • $(1,1)$：一球在第一个盒子，另一球在第二个盒子，共2种（球1在1、球2在2；或球1在2、球2在1），概率 $\frac{2}{9}$。
    • $(1,0)$：一球在第一个盒子，另一球在第三个盒子，共2种，概率 $\frac{2}{9}$。
    • $(0,2)$：两球均在第二个盒子，共1种，概率 $\frac{1}{9}$。
    • $(0,1)$：一球在第二个盒子，另一球在第三个盒子，共2种，概率 $\frac{2}{9}$。
    • $(0,0)$：两球均在第三个盒子，共1种，概率 $\frac{1}{9}$。
  3. 其他组合概率为0：如 $(2,1)$、$(1,2)$ 等不可能出现。

联合分布律表：

$X \backslash Y$ 0 1 2
0 $\frac{1}{9}$ $\frac{2}{9}$ $\frac{1}{9}$
1 $\frac{2}{9}$ $\frac{2}{9}$ $0$
2 $\frac{1}{9}$ $0$ $0$

第（2）题

计算 $P\{X=Y\}$：

  1. 满足 $X=Y$ 的情况：
    • $(0,0)$：概率 $\frac{1}{9}$。
    • $(1,1)$：概率 $\frac{2}{9}$。
    • $(2,2)$：不可能，概率 $0$。
  2. 求和：
    $P\{X=Y\} = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + 0 = \frac{1}{3}.$