【题目】262设A,B为n阶对称矩阵,则下列结论不正确的是A. A+B是对称矩阵.B. AB是对称矩阵.C. A'+B是对称矩阵D. A-2B是对称矩阵

考查要点：本题主要考查对称矩阵的性质及其运算后的对称性判断。
解题核心思路：

1. 对称矩阵的定义：若矩阵$A$满足$A' = A$，则$A$为对称矩阵。
2. 运算性质：
   • 加法：对称矩阵的和仍为对称矩阵。
   • 数乘：对称矩阵的数乘仍为对称矩阵。
   • 乘法：对称矩阵的乘积不一定对称，需验证$(AB)' = AB$是否成立。

破题关键：

• 选项B需特别注意矩阵乘法的转置性质：$(AB)' = B'A' = BA$，而$AB$是否等于$BA$取决于$A$与$B$是否可交换，但一般情况下矩阵乘法不满足交换律。

选项分析

选项A

结论：$A + B$是对称矩阵。
验证：
$(A + B)' = A' + B' = A + B$
因此，$A + B$是对称矩阵，结论正确。

选项B

结论：$AB$是对称矩阵。
验证：
$(AB)' = B'A' = BA$
若$AB$是对称矩阵，则需满足$AB = BA$。但一般情况下矩阵乘法不满足交换律，因此$AB$不一定对称，结论不正确。

选项C

结论：$A' + B$是对称矩阵。
验证：
由于$A$是对称矩阵，$A' = A$，因此：
$A' + B = A + B$
同选项A，$A + B$是对称矩阵，结论正确。

选项D

结论：$A - 2B$是对称矩阵。
验证：
$(A - 2B)' = A' - 2B' = A - 2B$
因此，$A - 2B$是对称矩阵，结论正确。