题目
17.计算二重积分 int (int )_(D)(e)^(x^2+{y)^2}dxdy, 其中D是由曲线 =sqrt (1-{x)^2} 和x轴所围成的闭区域.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 描述的是一个半径为1的圆的上半部分，与x轴围成的闭区域D是一个半圆。因此，积分区域D可以表示为 $x^2 + y^2 \leq 1$ 且 $y \geq 0$。
步骤 2：转换为极坐标
为了简化积分，我们使用极坐标变换。在极坐标系中，$x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，$dxdy = \rho d\rho d\theta$。积分区域D在极坐标系中表示为 $0 \leq \rho \leq 1$ 和 $0 \leq \theta \leq \pi$。
步骤 3：计算二重积分
将原积分转换为极坐标下的积分，得到：
$$
\iint_D e^{x^2+y^2} dxdy = \int_0^\pi \int_0^1 e^{\rho^2} \rho d\rho d\theta
$$
首先计算内层积分：
$$
\int_0^1 e^{\rho^2} \rho d\rho = \frac{1}{2} \int_0^1 e^{\rho^2} d(\rho^2) = \frac{1}{2} [e^{\rho^2}]_0^1 = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{1}{2} (e - 1)
$$
然后计算外层积分：
$$
\int_0^\pi \frac{1}{2} (e - 1) d\theta = \frac{1}{2} (e - 1) \int_0^\pi d\theta = \frac{1}{2} (e - 1) [\theta]_0^\pi = \frac{1}{2} (e - 1) \pi
$$
曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 描述的是一个半径为1的圆的上半部分，与x轴围成的闭区域D是一个半圆。因此，积分区域D可以表示为 $x^2 + y^2 \leq 1$ 且 $y \geq 0$。
步骤 2：转换为极坐标
为了简化积分，我们使用极坐标变换。在极坐标系中，$x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，$dxdy = \rho d\rho d\theta$。积分区域D在极坐标系中表示为 $0 \leq \rho \leq 1$ 和 $0 \leq \theta \leq \pi$。
步骤 3：计算二重积分
将原积分转换为极坐标下的积分，得到：
$$
\iint_D e^{x^2+y^2} dxdy = \int_0^\pi \int_0^1 e^{\rho^2} \rho d\rho d\theta
$$
首先计算内层积分：
$$
\int_0^1 e^{\rho^2} \rho d\rho = \frac{1}{2} \int_0^1 e^{\rho^2} d(\rho^2) = \frac{1}{2} [e^{\rho^2}]_0^1 = \frac{1}{2} (e^1 - e^0) = \frac{1}{2} (e - 1)
$$
然后计算外层积分：
$$
\int_0^\pi \frac{1}{2} (e - 1) d\theta = \frac{1}{2} (e - 1) \int_0^\pi d\theta = \frac{1}{2} (e - 1) [\theta]_0^\pi = \frac{1}{2} (e - 1) \pi
$$