13.求不定积分 int dfrac (1)(1-sqrt {x+1)}dx.

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过变量替换法简化被积函数的能力，以及分式拆分的技巧。

解题核心思路：

1. 变量替换：令 $t = \sqrt{x+1}$，将根号表达式转化为多项式，简化积分形式。
2. 分式拆分：将分式 $\frac{2t}{1-t}$ 拆分为易积分的形式，利用代数变形简化计算。
3. 积分与回代：对拆分后的表达式逐项积分，最后将变量替换回原变量 $x$。

破题关键点：

• 选择合适的替换变量，将根号部分设为新变量。
• 灵活拆分分式，通过分子变形转化为基本积分形式。

步骤 1：变量替换
令 $t = \sqrt{x+1}$，则 $x = t^2 - 1$，从而 $dx = 2t \, dt$。
原积分变为：
$\int \frac{1}{1-t} \cdot 2t \, dt = \int \frac{2t}{1-t} \, dt.$

步骤 2：分式拆分
将分子 $2t$ 表示为 $-2(t-1 + 1)$：
$\frac{2t}{1-t} = \frac{-2t}{t-1} = -2 \cdot \frac{t}{t-1} = -2 \left( 1 + \frac{1}{t-1} \right).$

步骤 3：逐项积分
对拆分后的表达式积分：
$\int -2 \left( 1 + \frac{1}{t-1} \right) dt = -2 \int 1 \, dt - 2 \int \frac{1}{t-1} \, dt.$
计算得：
$-2t - 2 \ln |t-1| + C.$

步骤 4：回代变量
将 $t = \sqrt{x+1}$ 代回，得到最终结果：
$-2\sqrt{x+1} - 2 \ln (\sqrt{x+1} - 1) + C.$