(2)数列 √2, sqrt (2+sqrt {2)} , √(2+√2+√2),··· 的极限存在

考查要点：本题主要考查递归数列极限的存在性证明及求解方法，涉及单调有界定理的应用和递推关系求极限的技巧。

解题核心思路：

1. 证明数列单调性：通过数学归纳法或直接比较相邻项，证明数列单调递增。
2. 证明数列有界性：通过归纳法或不等式推导，证明数列存在上界。
3. 利用极限定义求解：假设极限存在，代入递推关系式解方程求出极限值。

破题关键点：

• 单调性证明的关键在于通过递推关系式推导出$x_{n+1} > x_n$。
• 有界性证明需找到合适的上界（如$2$），并用归纳法验证。
• 极限方程的建立需注意平方操作后的解筛选，排除不符合实际的负根。

证明极限存在

步骤1：证明数列单调递增

• 基础情形：$x_1 = \sqrt{2} \approx 1.414$，$x_2 = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 1.847$，显然$x_2 > x_1$。
• 归纳假设：假设$x_{n} > x_{n-1}$成立。
• 递推关系：由$x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$，若$x_n > x_{n-1}$，则$x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} > \sqrt{2 + x_{n-1}} = x_n$。
  因此，数列$\{x_n\}$单调递增。

步骤2：证明数列有上界

• 基础情形：$x_1 = \sqrt{2} < 2$。
• 归纳假设：假设$x_n < 2$。
• 递推关系：$x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$。
  因此，数列$\{x_n\}$有上界$2$。

结论：

由单调有界定理，数列$\{x_n\}$极限存在。

求极限值

设极限为$L$，则递推关系在极限下变为：
$L = \sqrt{2 + L}$
两边平方得：
$L^2 = 2 + L \quad \Rightarrow \quad L^2 - L - 2 = 0$
解得：
$L = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \quad \Rightarrow \quad L = 2 \text{ 或 } L = -1$
因数列各项均为正数，故$L = 2$。