题目

2.4设lim_(ntoinfty)(n^99)/(n^k)-(n-1)^(k)存在且不为零，则常数k=____

2.4设$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{99}}{n^{k}-(n-1)^{k}}$存在且不为零，则常数k=____

题目解答

答案

将分母 $ n^k - (n-1)^k $ 近似展开，利用泰勒公式得： \[ (n-1)^k \approx n^k \left(1 - \frac{k}{n}\right) = n^k - k n^{k-1}, \] 则 \[ n^k - (n-1)^k \approx k n^{k-1}. \] 原极限变为 \[ \lim_{n\to\infty} \frac{n^{99}}{k n^{k-1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{100-k}}{k}. \] 为使极限存在且非零，需 $100-k=0$，解得 $k=100$。 **答案：** $\boxed{100}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，涉及高阶无穷大比较及泰勒展开的应用。

解题核心思路：
当$n$趋向于无穷大时，分母$n^k - (n-1)^k$的展开式中，最高次项的次数决定了分式的极限是否存在。通过泰勒展开或二项式定理近似展开$(n-1)^k$，找到分母的主部，再与分子$n^{99}$比较次数，确定$k$的值。

破题关键点：

  1. 展开分母：将$(n-1)^k$展开为$n^k - k n^{k-1} + \cdots$，保留最高次项。
  2. 比较次数：分子$n^{99}$与分母的主部$k n^{k-1}$的次数需相等，即$99 = k-1$，从而解得$k=100$。

步骤1：展开分母
利用泰勒展开或二项式定理，当$n$很大时，$(n-1)^k$可近似展开为：
$(n-1)^k \approx n^k - k n^{k-1}.$
因此，分母$n^k - (n-1)^k$的主部为：
$n^k - (n-1)^k \approx k n^{k-1}.$

步骤2：化简分式
原极限变为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{99}}{k n^{k-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{100 - k}}{k}.$

步骤3：确定极限存在条件

  • 若$100 - k = 0$（即$k=100$），则分式为$\frac{1}{k}$，极限为常数$\frac{1}{100}$。
  • 若$100 - k > 0$，分式趋向于$+\infty$，极限不存在。
  • 若$100 - k < 0$，分式趋向于$0$，不符合题意。

综上，唯一满足条件的$k$值为$100$。