6.设x_(1)=sqrt(6),x_(n+1)=sqrt(6+x_(n))(n=1,2,...),证明数列x_{n)}收敛，并求出极限值.

本题主要考查数列收敛性的证明以及极限值的求解，解题思路是先通过数学归纳法和函数单调性判断数列的单调性与有界性，再依据单调有界原理证明数列收敛，最后通过极限的性质求出极限值。

1. 判断数列的单调性：
   • 首先，我们使用数学归纳法来证明数列有上界。
     • 当$n = 1$时，$x_1=\sqrt{6}<3$，命题成立。
     • 假设当$n = k(k\in N^+)$时，$x_k < 3$成立。
     • 那么当$n = k + 1$时，$x_{k + 1}=\sqrt{6 + x_k}$，因为$x_k < 3$，所以$x_{k + 1}=\sqrt{6 + x_k}<\sqrt{6 + 3}=3$。
     • 由数学归纳法可知，对于任意的$n\in N^+$，都有$x_n < 3$，即数列$\{x_n\}$有上界。
   • 接着，我们通过构造函数来判断数列的单调性。令$f(x)=\sqrt{6 + x}-x$，对其求导，根据求导公式$(\sqrt{u})^\prime=\frac{u^\prime}{2\sqrt{u}}$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得：
     • $f^\prime(x)=\frac{1}{2\sqrt{6 + x}}-1$。
     • 当$x\in[0,3)$时，$\sqrt{6 + x}\in[\sqrt{6},3)$，则$\frac{1}{2\sqrt{6 + x}}\in(\frac{1}{6},\frac{1}{2\sqrt{6}}]$，所以$f^\prime(x)=\frac{1}{2\sqrt{6 + x}}-1<0$，这表明$f(x)$在$[0,3)$上单调递减。
     • 又因为$f(3)=\sqrt{6 + 3}-3=0$，所以当$x < 3$时，$f(x)>0$，即$x_{n + 1}-x_n=\sqrt{6 + x_n}-x_n=f(x_n)>0$，所以$x_{n + 1}>x_n$，数列$\{x_n\}$单调递增。
2. 证明数列收敛：
   • 根据单调有界原理：单调有界数列必有极限。由于数列$\{x_n\}$单调递增且有上界，所以数列$\{x_n\}$收敛。
3. 求数列的极限值：
   • 设数列$\{x_n\}$的极限为$A$，即$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = A$。
   • 因为$x_{n + 1}=\sqrt{6 + x_n}$，两边同时取$n\rightarrow\infty$的极限，根据极限的运算法则$\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n+\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$，$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{a_n}=\sqrt{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}$（$a_n\geq0$）可得：
     • $\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n + 1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{6 + x_n}$，即$A=\sqrt{6 + A}$。
   • 对$A=\sqrt{6 + A}$两边同时平方可得$A^2 = 6 + A$，移项化为一元二次方程的标准形式$A^2 - A - 6 = 0$。
   • 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，在方程$A^2 - A - 6 = 0$中，$a = 1$，$b = -1$，$c = -6$，则：
     • $A=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\times1\times(-6)}}{2\times1}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2}$。
     • 解得$A_1 = 3$，$A_2=-2$。
   • 因为$x_n>0$，根据数列极限的保号性可知$A\geq0$，所以舍去$A = -2$，得到$A = 3$。