求下列不定积分:-|||-24. int dfrac (dx)(sqrt [3]{{(x+1))^2((x-1))^4}}

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过变量替换法处理含有根式的复杂分式积分。

解题核心思路：

1. 观察分母结构：将分母中的根式表达式转化为幂次形式，便于后续化简。
2. 变量替换：通过令 $u = \sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}}$，将原积分转化为关于 $u$ 的简单积分。
3. 化简积分表达式：利用替换后的变量，将原积分中的 $x$ 和 $dx$ 用 $u$ 表示，最终简化为关于 $u$ 的线性积分。

破题关键点：

• 选择恰当的替换变量：通过观察分母的结构，发现 $\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}}$ 是简化积分的关键。
• 正确计算微分 $dx$：对替换后的变量求导，得到 $dx$ 的表达式，代入积分后需仔细化简。

步骤 1：化简被积函数
原积分可写为：
$\int \dfrac{dx}{(x+1)^{2/3}(x-1)^{4/3}}.$
通过变形，将其转化为：
$\int \dfrac{1}{x^2 - 1} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}} \, dx.$

步骤 2：变量替换
令 $u = \sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}}$，即 $u^3 = \dfrac{x+1}{x-1}$，解得：
$x = \dfrac{u^3 + 1}{u^3 - 1}.$
对 $x$ 求导得：
$dx = \dfrac{-6u^2}{(u^3 - 1)^2} \, du.$

步骤 3：代入积分并化简
将 $x^2 - 1$ 用 $u$ 表示：
$x^2 - 1 = \dfrac{4u^3}{(u^3 - 1)^2}.$
代入原积分得：
$\int \dfrac{1}{\dfrac{4u^3}{(u^3 - 1)^2}} \cdot u \cdot \dfrac{-6u^2}{(u^3 - 1)^2} \, du = -\dfrac{3}{2} \int du.$

步骤 4：积分并回代变量
积分结果为：
$-\dfrac{3}{2}u + C = -\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}} + C.$