题目
计算下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)(x)^2sin dfrac (1)(x);-|||-(2)lim arctan x
题目解答
答案
解析
考查要点：
- 极限的计算方法，特别是利用夹逼定理处理含有振荡函数的极限问题。
- 无穷小量与无穷大量的性质，理解分子趋向常数、分母趋向无穷大时整体趋向于零的规律。
解题核心思路：
- 第一题：当$x \rightarrow 0$时，$x^2$趋向于0，而$\sin(1/x)$在$[-1,1]$之间振荡。利用夹逼定理，通过绝对值控制整体范围，得出极限值。
- 第二题：当$x \rightarrow \infty$时，$\arctan x$趋向于$\frac{\pi}{2}$，而分母$x$趋向于无穷大。通过比较分子与分母的增长速率，直接判断极限值。
第（1）题
关键点：利用夹逼定理。
- 分析函数范围：
$\sin(1/x)$的取值范围为$[-1,1]$，因此$|\sin(1/x)| \leq 1$。 - 构造不等式：
$|x^2 \sin(1/x)| \leq |x^2| \cdot 1 = x^2.$ - 应用夹逼定理：
当$x \rightarrow 0$时，$x^2 \rightarrow 0$，因此：
$0 \leq |x^2 \sin(1/x)| \leq x^2 \rightarrow 0.$
由夹逼定理得：
$\lim_{x \rightarrow 0} x^2 \sin(1/x) = 0.$
第（2）题
关键点：分子趋向常数，分母趋向无穷大。
- 分析分子与分母的趋势：
当$x \rightarrow \infty$时，$\arctan x \rightarrow \frac{\pi}{2}$，而$x \rightarrow \infty$。 - 比较大小关系：
$0 \leq \frac{\arctan x}{x} \leq \frac{\pi/2}{x}.$ - 应用夹逼定理：
当$x \rightarrow \infty$时，$\frac{\pi/2}{x} \rightarrow 0$，因此：
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\arctan x}{x} = 0.$